因数分解の方法

質問

次の式の因数分解の仕方がわかりません。
レポートとして提出する物で途中の式も書かなければならないのですが、
まずやり方が分からないので、解けません。
どうか教えてください。

１、(a+b)^3＝a^3+b^3+3ab(a+b)の式から、
　　a^3+b^3の式の因数分解の公式を導くものなのですが、
　　移項したりしても、解く事が出来ません。

２、x^4＝(x^2)^2を利用して、
　　（a+1)^4-5(a^2-1)^2+4(a-1)^4を因数分解するのですが、
　　　どうしてａが出てくるんですか？（写し間違いではありません。）

３、(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyzの式の解き方を教えてください。

ずいぶんややこしいものでごめんなさい。
お願いします。

回答No.3

fushigichan · ベストアンサー

ukyou2tさん、こんにちは。
一つ一つ見て行きましょう。

＞１、(a+b)^3＝a^3+b^3+3ab(a+b)の式から、
　　a^3+b^3の式の因数分解の公式を導くものなのですが、

3ab(a+b)を両辺から引くと、
(a+b)^3-3ab(a+b)=a^3+b^3
左辺=(a+b){(a+b)^2-3ab}
=(a+b)(a^2+b^2-ab)

となって、因数分解できました。
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)

＞２、x^4＝(x^2)^2を利用して、
　　（a+1)^4-5(a^2-1)^2+4(a-1)^4を因数分解するのですが、
　　　どうしてａが出てくるんですか？（写し間違いではありません。）

aが出てくるのは何故か・・というと、aについての式を因数分解したいんですね。
そこで、(a+1)の４乗の部分があるので、それを(a+1)^2の２乗とみなす。
(a-1)^4の部分を、(a-1)^2の２乗とみなすことで、簡単にできるのです。

ちょっとやってみましょう。
分かりにくければ、a+1=X,a-1=Yと置き換えるといいですね。
ここで、a^2-1=(a-1)(a+1)=XYと因数分解できることを利用すると、
（a+1)^4-5(a^2-1)^2+4(a-1)^4=X^4-5(XY)^2+4Y^2
=(X^2)^2-5(X^2)(Y^2)+4(Y)^2
=(X^2-Y^2)(X^2-4Y^2)
=(X+Y)(X-Y)(X+2Y)(X-2Y)
これを、X=a+1,Y=a-1と元に戻すと、
（与式）=(2a)*2(3a-1)(-a+3)
=4a(3a-1)(3-a)
と因数分解できるのが分かると思います。ちょっとややこしいですね。

＞３、(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyzの式の解き方を教えてください。

どれか一つの式にまとめてみるといいですね。
ｘについての式だと思って変形していきましょう。

(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz=x^2y+xyz+x^2z+y^2x+y^2z+xyz+xyz+z^2y+z^2x-xyz
=(y+z)x^2+(y^2+2yz+z^2)x+yz(y+z)
(y+z)の因数でくくりだすと
（与式）=(y+z){x^2+(y+z)x+yz}
=(y+z)(x+y)(x+z)
=(x+y)(y+z)(z+x)

となって、きれいに因数分解された形に出来ました。
やってみてくださいね！！

お礼

細かいところまで教えてくださってありがとうございました。
おかげさまでレポートも間に合わせる事が出来そうです。
文字がいっぱいあって、打つのも大変そうで・・・。（^_^；）
本当にありがとうございました。

回答No.2

weasel

なんか削除される気がしますが。

１．(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)
a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)
=(a+b){(a+b)^2-3ab)}
=(a+b)(a^2+2ab+b^2-3ab)
=(a+b)(a^2+ab+b^2)
以上です。

２．はx^4=(x^2)^2つまりx^2を他の文字に置き換えて考えられるという事です。
　　下に書いてある問題は混同してしまわないように変えているだけでしょう。
　　まずとします(もっと簡単な方法あるかもしれません）
　　次にｐ＾２＝Ｐ（らーじＰです）、q^2=Qとします
すると
　　P^2-5PQ+4Q^2=0
となりこれを因数分解すると
　　（P-4Q)(P-Q)=0
P=4Q,Q
になりｐ＾２＝Ｐ、q^2=Q、a+1=p,a-1=qを代入します。

　　Ｐ＝Ｑ
　　p^2=q^2
(a+1)^2=(a-1)^2
4a=0
a=0
P=4Q
(a+1)^2=4(a-1)^2
3a^2-10a+3=0
(3a-1)(3a-3)=0
a=1/3,1
よってa=0,1/3,1

3.よくわからないですけど（）をはずせば良いのでは？
　　2xyz+x(xy+zx)+y(xy+yz)+z(yz+zx)

お礼

ありがとうございました。
削除・・・・。先手必勝ということで！！！（何が。）
３．はやっぱり（）をはずして自力で解くしかなさそうですね・・・。
でわ。

回答No.1

zephyr-breeze

(1)(a+b)^3＝a^3+b^3+3ab(a+b)を変形、

a^3+b^3＝(a+b)^3-3ab(a+b)として、右辺を(a+b)で括る。

(2)a+1＝x、a-1＝yとして、与式を変形、

x^4-5x^2y^2＋+4y^4とすると、x^2とy^2をベースに因数分解できる。

(3)xについて整理すると、各項から共通の因数（y＋z）が括りだせる。

こんな感じでやってみてください。

お礼

ありがとうございました。
おかげさまで何とか解けそうです。