別解ありますか

質問

0<x<=π/2のとき、f(x)={2(cosx)^2+2√3sinxcosx+4}/(sinx+√3cosx) の最小値を求めよ。

k=sinx+√3cosx とおいて、f(x)をkで表して
相加相乗平均を用いてもとめることができるのは
わかりました。
多少面倒になってもいいですので、他の解法があったら
教えてください。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

x+π/3=tとおくと　π/3<t≦5π/6

f(x)={2(cosx)^2+2√3sinxcosx+4}/(sinx+√3cosx)

f(t-π/3)=g(t)={3+4sin^2(t)}/{2sin(t)}, π/3<t≦5π/6

g'(t)=(1/2)cos(t){1-2cos(t)}{1+2cos(t)}/sin^2(t)

π/3<t≦5π/6では　sin(x)>0
g'(t)=0より cos(t)=0,-1/2,1/2
　t=π/2で極大値g(π/2)=7/2
t=2π/3で極小値g(2π/3)=2√3…（★）
π/3<t≦5π/6で増減表を描くと（★）が最小値と分かる。
最小値を取るとき x=t-π/3=2π/3-π/3=π/3

お礼

回答ありがとうございます
この解法の流れは三角関数の合成からもっていった
ものだと思いました。
分子の変形はどうやったのかといろいろやってみて、
回答のようになりました。参考になりました。

回答No.2

noname#171582

グラフ