三角関数の最大最小

質問

y=sinxcosx-(sinx+cosx)√6とする。xが0≦x≦πの範囲を動くとき、次の問いに答えよ。
（１）t=sinx+cosxのとりうる範囲を求めよ。
（２）yの最大値と最小値を求めよ。

という問題ですが、（１）で-1≦sinx+cosx≦√２ともとまったんですが（これは正答）、

一方で(2)の方で解説に突然範囲が-1≦sinx+cosx≦２と書かれています。
どういうことなのでしょうか。

だれかおしえてください。

回答No.5

suko22 · ベストアンサー

ついでなのでちゃんと解いてみます。

(1)sinx+cosx=√2sin(x+π/4)
0≦x≦πなのでπ/4≦x+π/4≦5π/4
　x+π/4＝π/2のとき最大値をとり、x+π/4＝5π/4のとき最小値をとる。
　∴-1≦sinx+cosx≦√2

(2)t=sinx+cosx
両辺を2倍すると、
　t^2=(sinx)^2+2sinxcosx+(cosx)^2
t^2=1+2sinxcosx
2sinxcosx=t^2-1

これらを与式に代入
　y=t^2-1-t√6
=(t-√6/2)^2-2/5
頂点（√6/2,-2/5）で下に凸のグラフであることがわかる。
　（ここで簡単なグラフを書いてください。）
　今(1)より-1≦ｔ≦√2なので、
　図より（自分で書いてみて確認してください）
　ｔ＝-1のときが最大値ｙ＝1-1+√6＝√6
　ｔ＝√6/2のとき最小値ｙ＝-2/5
　（補足：√6/2と√2大小が微妙、√2≒1.4、√6≒2.4より、√6/2＜√2であることがわかる。
　　√2の値はある程度の桁まで知っておいたほうがよい。√6に関しては、√4、√5、√6、√7、√8、　　√9と並ぶことを考え、2と3の間に0.2刻みで他の√があるとおおざっぱに考える。だから√6≒2.4）
　（補足2：両方とも正の実数だから、両辺を2倍して比較してもよい。6/4と2→1.5と2。だから√6/2＜　　√2）
　t=-1のとき√2sin(x+π/4)=-1
x+π/4＝5π/4
　ｘ＝π
　t=√6/2のとき√2sin(ｘ+π/4)=√6/2→sin(x+π/4)=√3/2
　x+π/4＝π/3、2π/3
　ｘ＝π/12、5π/12

　ゆえに、t=-1すなわちｘ＝πのとき最大値√6
　　　　　t=√6/2すなわちｘ＝π/12、5π/12のとき最小値-2/5

終わり。

＞一方で(2)の方で解説に突然範囲が-1≦sinx+cosx≦２と書かれています。
これは間違いでしょう。たぶん単なる誤植です。先生なり、出版元なりに確認されてみてはいかがですか？

もし範囲が-1≦sinx+cosx≦2でも同じ答えにはなりますが、(1)の結果が急にこのように代わることは考えられません。最初にも書きましたがsinxの最大値は1(x=π/2）、cosxの最大値は1（ｘ＝-π）で、最大値をとるｘの値が違うのでsinx+cosx=2には絶対になりません。

お礼

詳しい解説、ありがとうございます！！！すごくわかりやすかったです。
確かに誤りがあったとしても、答えは変わりませんね・・・。

本当にありがとうございます(｀・ω・´)！！！

回答No.4

suko22

＞y=sinxcosx-(sinx+cosx)√6

問題文のこの式あってますか？

y=2sinxcosx-(sinx+cosx)√6
2がついていませんか？

補足

本当にすみません！！ついていました！！！

回答No.3

suko22

参考書の解説が間違っているというのはたまにですがあります。

(1)の範囲で(2)を解いて答えがあっていればただの誤植ではないですか？
確認してみてください。

簡単に計算してみたんですが、
(2)の答えは最小値（1-4√3）/2（ｘ＝√2のとき）　、最大値√6（ｘ＝-1のとき）
ですか？

補足

答えはt=-1すなはち、x=πの時、最大値√6
　　　　t=√6/2すなはち、x=π/12,　5π/12の時、最小値-5/2

と書いてあります。

回答No.2

ferien

＞一方で(2)の方で解説に突然範囲が-1≦sinx+cosx≦２と書かれています。
-1≦sinx+cosx≦√２のことだと思います。（√　の付け忘れ？）
この範囲で、最大値最小値は求まります。
ｔ＝－１のときが最大値，ｔ＝√２のときが最小値だと思います。

回答No.1

suko22

＞一方で(2)の方で解説に突然範囲が-1≦sinx+cosx≦２と書かれています。

それは解説が間違っているのでは？
普通に考えてもsinxとcosxが同時に1になるｘは存在しないと思うのですが。

補足

僕も解説が間違いだと思うんですが、しかしこれは第一学習社のファイン５というもので、学校が配ったたものなんですが、間違うことってあるのでしょうか？