高校 数学 至急！

質問

関数y=sinx+cosx-2sinxcosx+3について。

（１）sinx+cosxをrsin(x+a)の形に表せ。ただし、r>0　-π<a<πとする。

（２）t=sinx+cosxとおくとき、yをtを用いて表せ。

★（３）０<=x<=πにおけるyの最小値は？また、そのときのxの値は？

最後の（３）だけ分かりません！至急お願いします！　必要か分かりませんので一応(１)(２)も書いてます！

回答No.3

atkh404185

(3) グラフを使って最小値をみつけるので、

　　(2)で求めた式を変形します。（2次関数だから、頂点の座標がわかるように）

次に、x　を　t に置き換えたので　t　のとりうる値の範囲を求めます。

（xのとりうる値の範囲は　←　t　のとりうる値の範囲は　の間違いです。）

(1)で　sinx+cosx=√2 sin(x+π/4)　と求め、

(2)で　t=sinx+cosx　とおいているから

これらを合わせて

　　t=√2 sin(x+π/4)　(0<=x<=π)

になります。このグラフを描いて　t のとりうる値の範囲がわかります。

また、原点中心、半径√2 の円を使っても求めることができます。

この場合は π/4<=x+π/4<=5π/4　の範囲で考えることになります。

この　t の範囲のグラフを描いて最小となる　ｔ　の値をみつけます。

ｔ　の値がわかれば

　　t=√2 sin(x+π/4)

に代入して、x　の値が求まります。

回答No.2

atkh404185

(1)　sinx+cosx=√2 sin(x+π/4)

(2)　y=-t^2+t+1

(3)　(2)より

　　y=-t^2+t+1

　　　=-(t^2-t)+1

　　　=-{(t-1/2)^2-1/4}+1

　　　=-(t-1/2)^2+5/4

ここで、x のとりうる値の範囲は

　　t=sinx+cosx=√2 sin(x+π/4) (0<=x<=π)

より

　　　-1<=t<=1

グラフは(←　描けないので省略します。)

　　頂点(1/2,　5/4)、左端点(-1,　-1)、右端点(1、　1)の

　　上に凸の放物線の一部分

グラフより

y は　t=-1　のとき最小値　-1　をとる。このとき　x　の値は

　　√2 sin(x+π/4)=-1

より

　　sin(x+π/4)=-√2/1

π/4<=x+π/4<=5π/4　より

　　x+π/4=5π/4

　　x=π・・・・・・（答）

お礼

助かりました、ありがとうございます！

回答No.1

shintaro-2

>最後の（３）だけ分かりません！至急お願いします！　必要か分かりませんので一応(１)(２)も書いてます！

???
(1),(2)が解けて、何故(３)がわからない？

ｙをｔの関数として表せますよね？
そうしたら、ｙが最小となるときのｔの値を出せますよね？
ｔ＝ｒsin(x+a)なのですから、
求まるはずです。