最小値を求める

質問

x＞0のとき,1/√x+√x+√(1/x+x+1)の最小値を求めよ。

がわかりません。相加相乗平均を使うような気がするのですが・・・

回答No.3

kony0 · ベストアンサー

#2さんの後半の論理展開が、私にはすっと頭に入ってきませんでした・・・
> k^2-2Ak+1=0
> A=(k^2+1)/2K>=2
> A>=2であるから、K>=2+√3

もっと単純に、

「A≧2のとき、Aが大きくなるとA+√(A^2-1)も大きくなるので」最小値はA=2のときで2+√3

くらいの論理展開で十分ではないでしょうか？（Aが正なら各項の単調増加性が明らかと思料）

なお、#1さんの解法は、「両方が最小になるときのｘが同じなので」の部分を“きちんと理解できていて、さらにそれを表現できる”答案作成をしないと、採点者に誤解を与えてしまう虞があります。

いや、#1さんと#2さんの回答、そしてそれにツッコんでる私の言い分は、本質的に同じことを言ってるにすぎないんですが^^;

お礼

No.1の方から順番に読んで、この補足を見るとまとめてくださっていたので、わかりやすかったです。どの回答も大変参考になりました。

回答No.2

mirage70

1/√x+√x=Aと置くと、A>=2
√(1/x+x+1)=√(A^2-1)
A+√(A^2-1)=Kと置いて、展開して整理すると、
k^2-2Ak+1=0
A=(k^2+1)/2K>=2
A>=2であるから、K>=2+√3
または、A+√(A^2-1)=Kの増減を調べる方法を知っているなら、A>=2を利用して直ぐに答えが出ます。

回答No.1

noname#24477

そうです。相加相乗使えば出来ますね。
1/√x+√x　の最小値は？
1/x+x　の最小値は？
両方が最小になるときのｘが同じなので、このとき
式全体が最小になります。