最大値の最小

質問

(1)sinxcosx
(2)sinx(cosx)^2
(3)sinx(cosx)^4
(4)sinx(cosx)^6
(5)sinx(cosx)^8
このうち最大値が最小になるのはどれか。

ソフトにグラフを書かせたら(1)になったのですが
どうやってもとめればよいのか（考えたらよいのか）
よろしくおねがいします。

回答No.3

naniwacchi · ベストアンサー

こんにちわ。

＞最大値が最小になるのはどれか。
ということですが、もうちょっとグラフ全体で考えてみると・・・

(1)×cos(x)＝ (2)
(2)×cos^2(x)＝ (4)
以下、cos^2(x)を順次かけていく。

となりますが、-1≦ cos(x)≦ 1（|cos(x)|≦ 1）ですから

(1)のグラフと (2)のグラフを比較すると、
(2)のグラフの方が全体的に「低く（x軸に近づいている）」なっている。
ことになりますよね。
ともすれば、最大値自体も小さくなっているように思われます。

以下、同様に考えると、「最大値が最小になる」のは (5)かと・・・

お礼

回答ありがとうございます
１以下のcos^2(x)をかけているのだから
当然と言えば当然ですが、グラフを書いてみたら
、それが間違っていたのですが、・・・・

回答No.5

Rice-Etude

No.2です。

すみません、「最大値が最小」を「最大値が最大」と勘違いしていました。No.3の方がおっしゃる通り(5)が最小ですね。

ただ、考え方は同じで追えます。

#(1)の最大値＞(2)の最大値＞…となっていきます。

回答No.4

Tacosan

ちなみにですが, #3 の考察をもうちょっときちんとやれば微分を使うことなく「最大値が最小になる」のが (5) であることは示せます.
「最大値として考えなければならない」 x において |cos x| ≠ 1 であることに気づけば簡単.

回答No.2

Rice-Etude

まず(1)について、sin(2θ)=2sinθcosθ（2倍角）の公式から
(1)=(1/2)・sin(2x)≦1/2
で、最大値は1/2です。

次に(2)について、(sinθ)^2+(cosθ)^2=1の公式から
(2)=sinx(1-(sinx)^2)
これをsinx=yと置き換えれば
(2)=y(1-y^2) （但し-1≦y≦1）
となり、yの定義域が-1以上1以下の3次関数の最大最小を求める問題となります。
これを、微分による増減表を駆使して求めれば
(2)の最大値＜(1)の最大値
であることが判明します。

次に(3)は
(3)=(2)・(cosx)^2
となります。ここで(cosx)^2≦1なので、(3)の値はどんなに大きくても(2)の最大値は超えられないことになります。よって
(3)の最大値≦(2)の最大値＜(1)の最大値
となります。

あとは、同じように
（(n)の式)）・(cosx)^2
に分割することを繰り返していけば、(1)が最大であることがわかります。

回答No.1

Tacosan

一応確認したいのですが, それぞれ
(sin x)(cos x)
(sin x)(cos^2 x)
など, ですか?

本当に (1) が「最大値が最小になる」のか?

お礼

おっしゃるとおりの問題になります。
本当に (1) が「最大値が最小になる」のか?
グラフを書かせたら結果が(1)になったので、イメージしていたのとは
ちょっと外れていたので、おかしいのではないかという疑念をもって
いたので、もう一度グラフを書かせてみたいと思います。

補足

もう一度、グラフを書かせてみたら、
かんがえていたようになりました。
最大値が最小は(5)になりました。
すみませんでした。