関数の最大値と最大値を教えて下さい

質問

0≦x＜2πの時に関数の
y=3(sinx)＾2＋2√2sinxcosx＋4(cosx)＾2
の最大値と最小値を教えて下さい。
よろしくお願いします。

回答No.2

spring135 · ベストアンサー

倍角公式より

sin^2x=(1-cos2x)/2
cos^2x=(1+cos2x)/2
sinxcosx=sin2x/2

y
=3(sinx)＾2＋2√2sinxcosx＋4(cosx)＾2
=7/2+cos2x/2+√2sin2x

要するに単振動の合成。

a=1/2
b=√2

とすると

c=√(a^2+b^2)=3/2

sinp=a/c=1/3
cosp=b/c=2√2/3

をみたす角pが存在する。

このpを用いて

y
=7/2+cos2x/2+√2sin2x
=7/2+c(cos2x×a/c+sin2x×b/c)
=7/2+(3/2)(cos2xsinp+sin2xcosp)
=7/2+(3/2)sin(2x+p)

pはsinx,cosxとも正の値をとるので0<p<π/2

0≦x＜2πより-１≦sin(2x+p)≦1

最大値はy=7/2+3/2=5
最小値はy=7/2-3/2=2

お礼

とても細かい回答有り難うございます。
自分がわからなかったポイントがしっかり解説されていただけたので
とても助かりました。

回答No.1

hashioogi

3(sinx)＾2＋2√2sinxcosx＋4(cosx)＾2
は(sinx)＾2＋(cosx)＾2=1に注目すると
3＋2√2sinxcosx＋(cosx)＾2
になります。
sin(2x)=2(sinx)(cosx)、
cos(2x)=2(cosx)^2-1なので
3.5＋√2sin(2x)＋1/2(cos2x)
になります。
さらに、
3.5＋3/2{2√2/3sin(2x)＋1/3(cos2x)}
と変形します。
cosα=2√2/3
sinα=1/3
になるようなαを考えると、
3.5＋3/2sin(α+2x)
になります。
ここまでくれば最大最小は求められるでしょう ?

お礼

お礼遅れてすみません。
丁寧な回答有り難うございます。わからないところを最後は自分で導くことができるように回答していただき、勉強になりました。