変数の関係に相加相乗平均を使っていいのか

質問

質問の意味が分かりかねるかもしれませんが、例えば
x>0において、x+1/xの最小値を求めよ。
という問題は、相加相乗平均の関係より
x+1/x≧2√x*(1/x)＝２　ゆえに最小値は２
というように、文字が消えます。

しかし、次の問題
x+y+z=π, x>0, y>0, z>0のとき、sinx*siny*sinzの最大値を求めよ
という問題で、
相加相乗平均の関係より
sinx*siny*sinz≦{sinx+siny+sinz/3}^3 … (A)
等号成立はsinx=siny=sinzより、x=y=z=π/3
ゆえに、最大値は(√3/2)^3＝3√3/8
というふうにやろうとしたのですが、
（A)の時点で変数が残っています。

このやり方は可能でしょうか？

回答No.2

WiredLogic · ベストアンサー

(A)の右辺は、勿論、{(sinx+siny+sinz)/3}^3 ですよね。
{}付けているので、単なる内側の()忘れでしょうけど。

あ、ついでにいうと、「～しかねる」は、現代語では、原則、
自分の行動にしか使わない、別に謙譲語という訳ではなく、
ほとんど「遠回しなお断り」専用？^^化している言葉なので、
こういう使い方はしない方が無難です。

で、本題ですが、

勿論、sinx,siny,sinzが正、などを示した上の話ですよね。
原則としては、相加平均相乗平均の大小関係は、不等式の
片方が、定数になる、少なくとも、うまく組み合わせて、
定数にできるようでないと、非常に使いにくい代物ですが、
後の運用次第では、絶対いけないというものでもありません。

逆にいうと、できたとしても、そこらへんを示すのは、
結構大変だ、ということで、実際には、なかなかお目に
かかれない、ということなのですが…

この場合も、
sinx*siny*sinz≦{(sinx+siny+sinz)/3}^3 … (A)
で、確かに、等号が成り立つ場合があることが
示せていますが(たまに、ちゃんと定数になる問題
でも、実は、等号が成立する場合がない、という
こともあったりするので、そこも気をつけて)、

その前に、(A)の右辺は、等号が成り立つときより、
もっと大きな値をとるかもしれない、すると、
左辺は、右辺よりも小さいとは言え、等号成立の
ときより、もっと大きい値をとる可能性が出てくる、
ということで、この線で示せるとしたら、例えば、
等号成立のとき、(A)の右辺が最大値をとることを
示す必要が出てきます。

こういう後の処理が、意外に簡単なこともありますが、
示せるけど大変、または、そもそも示せない(けれど、
全体としては、等号成立のときに、左辺が最大値をとる)、
最初から、等号成立のときに、左辺が最大なのが幻想、
と、色んな場合が出てくるので、普通は、そちらに持ち
込まない方が無難、ということになっている訳です。

回答No.3

mister_moonlight

この問題に、相加平均・相乗平均が使えないのは　＃1の説明の通りなんだが、それが相加平均・相乗平均を使う時の盲点。

この問題は、z=π-(x+y)として、sinx*siny*sinzに代入し、x+y＝θ(0＜θ＜π)とすると　2Ｐ＝sinθ{cos(x-y)-cosθ}≦sinθ{1-cosθ}。　何故なら　cos(x-y)≦1　
そこで、sinθ{1-cosθ}の最大値を0＜θ＜πの条件で考える。
sinθ＞0、{1-cosθ}＞0から　sinθ{1-cosθ}の2乗の最大値を考える。それには　微分だな。
続きの計算は　自分でやって。

回答No.1

Tacosan

最後の「ゆえに、最大値は(√3/2)^3＝3√3/8」がなければ問題ないんだけどね....

この「等号成立」というのはつまり
sinx*siny*sinz={(sinx+siny+sinz)/3}^3
を満たすということなんだけど, 右辺の sin x + sin y + sin z も変化するということを忘れちゃいけません. 右辺が定数なら確かに「等号が成り立つときに最大」といえるんだけど, 定数でない場合には「等号が成り立つから最大」とはいえませんよ.

大雑把にいうと:
絶対不等式 -x^2 + 2x ≦ x + 3/4 は x = 1/2 のとき等号が成り立ちます. では, -x^2 +2x は x = 1/2 のとき最大になりますか?