数２

質問

x+y=3 のとき 2^x+2^y の最小値を求めよ

の解法を教えてくだちい。相加相乗をつかうやつです。

回答No.2

pagumani · ベストアンサー

相加平均・相乗平均の関係は、
a＞０、b＞０のとき、（a＋b）/２≧√ab（abは√の中ですよ）
が成り立つ。
ここで、指数関数a^xはa＞１ならば、単調に増加し、常に正なので
上の関係が使える。
つまり、２＾ｘ＞０、２＾ｙ＞０なので、
相加平均・相乗平均の関係から、
（２＾ｘ＋２＾ｙ）/２≧√２＾ｘ・２＾ｙ
不等式の左辺の√の中＝２＾（ｘ+ｙ）（指数法則）となり、
ｘ＋ｙ＝３なので
左辺＝√8＝2√2
したがって、（２＾ｘ＋２＾ｙ）/２≧2√2
２＾ｘ+２＾ｙ≧４√２
よって最小値は４√2
等号成立は、２＾ｘ＝２＾ｙのときなので、
ｘ＝ｙ＝3/2（＝1.5）のとき

回答No.1

Tacosan

質問するまでもなく自ら書いているんだけど....

そう, 「相加相乗をつかう」だけ.