フーリエ変換の問題です

質問

nを自然数として、関数fn(x)を
fn(x)=1-n|x|, x∈[-1/n,1/n]
0, |x|≧1/n
と定義する。

この時のフーリエ変換fn(ξ)は計算すると、
fn(ξ)=-n/ξ^2(e^(iξ/n)+e^(-iξ/n))
となったのですが、この計算は合ってますでしょうか？
間違ってたらご指摘ください。
また、これをn→∞とした時に値は存在しますか？

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

間違ってると思います。
[n/{ξ^2√(2π)}](2-e^{iξ/n}-e^{-iξ/n})
ではないでしょうか?
Fn(ξ)
={1/√(2π)}∫_{-1/n～1/n}(1-n|x|)e^{-iξx}dx
={1/√(2π)}[∫_{-1/n～0}(1+nx)e^{-iξx}dx+∫_{0～1/n}(1-nx)e^{-iξx}dx]
={1/√(2π)}[[(iξ+iξxn+n)e^{-iξx}/ξ^2]_{-1/n～0}
　+[(iξ-iξxn-n)e^{-iξx}/ξ^2]_{0～1/n}]
={1/√(2π)}n(2-e^{iξ/n}-e^{-iξ/n})/ξ^2
={√(2/π)}n(1-cos(ξ/n))/ξ^2

∀ε>0
∃n_0>1/{ε√(2π)}
∀n>n_0
↓
|Fn(ξ)|
=|{1/√(2π)}n(2-e^{iξ/n}-e^{-iξ/n})/ξ^2|≦1/{n√(2π)}<ε
↓
lim_{n→∞}Fn(ξ)=0

お礼

回答ありがとうございます
だいぶ変な計算をしてしまっていたみたいですね＾＾；
もう一度やり直してみます＞＜