離散フーリエ変換について

質問

離散フーリエ変換によって得られた値についての質問です。
多くのサイトでその値は
Σ(k=0～N-1) f(k)exp(-2πkni/N)　という式から求められるとあります。
離散フーリエ変換は本来、ある周期関数が、どのくらいの振幅でどのくらいの周波数の波からできているかを調べるために行うものだと思います。
しかし上記の公式から得られるスペクトル（sqrt（Re^2+Im^2)）では振幅の値は得られません。振幅を得るには刻み幅Δ（関数をサンプリングした際の幅）を乗じて
Σ(k=0～N-1) f(k)exp(-2πkni/N)*Δ
とすれば得られることが分かりました。
最初の公式から得られるスペクトルはなにを表しているのでしょうか？またなぜ刻み幅Δを乗じることで、振幅が求まるのでしょうか？
よろしくお願いします。m(__)m

回答No.4

Tacosan · ベストアンサー

パッと見だけど, Δを掛けた式で N → ∞ の極限をとると連続の Fourier 変換にならないかなぁ?

お礼

その一言が私の求めていた答えでした！！
本当に感謝します。

回答No.3

guuman

逆変換においてNで割るか変換においてNで割るかは流儀の違い
なので好きな方を選べばよい
DFTが何を洗わしているかが重要

DFTはサンプリングされた周期関数のフーリエ変換の結果であるインパルス列の係数を表す
周期関数をフーリエ変換すると周波数軸上でインパルス列となるが
そのインパルス列の大きさを表すのである
さらにサンプリングされているからそのインパルス列は周期を持つ

お礼

ありがとうございました。
参考になり助かりました。

回答No.2

Meowth

もうすこし
正規化はどうなっているのですか。
使っているDFTの
離散フーリエ変換と逆離散フーリエ変換
の式をおしえてください。
｛おそらく　
フーリエ変換ではNで割らない
逆フーリエ変換ではNで割る｝だとおもいますが。
ΔをかけるとかNで割るとか、
Δをかける前と後のスペクトル（sqrt（Re^2+Im^2)）の
違いがみえてくると思いますが。

補足

書き込みありがとうございます。
使っている離散フーリエ変換の式は

離散フーリエ変換
Σ(k=0～N-1) f(k)exp(-2πkni/N)　

離散逆フーリエ変換
（1／Ｎ）Σ(n=0～N-1) f(n)exp(2πkni/N)　

です。（１／Ｎ）は逆変換の方についています。
（１／Ｎ）を逆変換ではなく、変換側につけますと、逆変換の式は
Σ(n=0～N-1) f(n)exp(2πkni/N)　　になると思います。

スペクトル値として振幅をえるためには、
Σ(k=0～N-1) f(k)exp(-2πkni/N)×Δ
としなければなりませんでした。Δなしですと、振幅×100の値がスペクトル値（sqrt（Re^2+Im^2)）としてえられました。

この100倍のスペクトル値はなにを示しているのでしょうか？
また刻み幅Δを乗じることで、なぜ振幅が求まるのでしょうか？

刻み幅Δは　　Δ＝サンプリング領域Ｌ／サンプリング数Ｎ　です。

回答No.1

Meowth

Σ(k=0～N-1) f(k)exp(-2πkni/N)
はなんでしょうか？
Nで割らないのでしょうか
刻み幅ΔとNの関係は？

補足

書き込みありがとうございます。
Σ(k=0～N-1) f(k)exp(-2πkni/N)は離散フーリエ変換の式です。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%A2%E6%95%A3%E3%83%95%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%82%A8%E5%A4%89%E6%8F%9B　（wikiでの離散フーリエ変換の式）

Ｎで割るタイプ
Σ(k=0～N-1) f(k)exp(-2πkni/N)／Ｎ
http://akita-nct.jp/~yamamoto/comp/mathematica/material/fft/fourier_html/node1.html
もあるようです。Δ＝刻み幅＝（サンプリングする領域Ｌ）／Ｎ　ですから、このＮで割る公式の場合はＬを乗じて
Σ(k=0～N-1) f(k)exp(-2πkni/N)／Ｎ×Ｌとし、スペクトルを計算しますと、振幅の値がスペクトルとして表示されました。
Ｎで割らないタイプ（Σ(k=0～N-1) f(k)exp(-2πkni/N)）ですと、振幅をスペクトルとして表示させるには、Δを乗じなければなりませんでした。