積分です

質問

積分の問題です。
この曲線で囲まれた図形の面積を求めよ
0≦ｘ≦πのときy=sinx y=cos2x
-1/4≦y≦1のときx^2+y^2=1 y=x^2-1/4
積分の仕方は分かりました。ｘとyに対応する範囲が分かりません。

曲線y=e＾xと原点からこの曲線にひた接線およびｙ軸で囲まれた図形の面積をもめよ
これは意味が分かりません。
まったく解けないです（泣）
この3問を四時間ぐらいやっているのです・・・・
教えてくれませんか？？
お願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

(1)
>0≦ｘ≦πのときy=sinx, y=cos2x
>積分の仕方は分かりました。ｘとyに対応する範囲が分かりません。
y=sinx, y=cos2x の交点のx座標x1,x2(x1<x2)を求めれば積分範囲はx1～x2になります。
sinx-cos(2x)=(2sinx-1)(sinx+1)=0、0≦ｘ≦πではsinx+1＞０　∴sin(x)=1/2
∴x1=π/6,x2=5π/6　
積分の範囲が求まったので、積分は分かるんですね。

(2)
積分範囲は
x^2+y^2=1と y=x^2-1/4の交点のx座標x1,x2(x1<x2)を求めれば x1～x2になります。
y+1/4+y^2=1, 4y^2+4y-3=(2y+3)(2y-1)=0, y>-1/4より2y+3>0なので　y=1/2 ∴x^2=3/4
x1<x2より　∴x1=-√3/2, x2=√3/2
積分の範囲が求まったので、積分は分かるんですね。

(3)
接線はy=ex(eは自然対数の底）で接点は(1,e)
面積Sは
S=∫[0,1] (e^x -ex)dx
で与えられます。
この積分はできるんですね。

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。

いまの問題は「図形の面積」の問題ですから、
まずは図形が正しく描けていることが大前提です。

特に積分の計算をおこなうとき、被積分関数は
(グラフが上側にある関数)－(グラフが下側にある関数)

としなければなりません。（逆にすると、面積がマイナスになる）

・0≦ｘ≦πのときy=sinx y=cos2x
0～πの区間で、それぞれのグラフはどうなりますか？

・-1/4≦y≦1のときx^2+y^2=1 y=x^2-1/4
円と放物線によって囲まれる部分の面積ですね。
「囲まれている図形」は 2つあると思います。
yの範囲は、そのうちの一方であることを記しているだけです。

・曲線y=e＾xと原点からこの曲線にひた接線およびｙ軸で囲まれた図形の面積
まずは「原点を通る直線が y＝ e^xに接している」条件から、この直線の式と接点を求めましょう。
積分の計算はそれからです。