積分

質問

Y=√3sinx-cosx(π/6≦x≦7π/6)
のグラフとx軸で囲まれた部分をx軸の周りに1回転してできる立方体の体積をＶとするとＶ＝？

被積分関数を三角関数の合成を利用して解くそうですが、難しくてよくわかりません。

いろいろと悩んだのですが
解き方がわかりません
πy＾2を積分すると
sin＾2(x-π/6)になって
さらに積分すると
1-cos(2x-π/3)/2から2π＾2になるのがさっぱりわかりません

回答No.2

tarame

まず、三角関数の合成ですが
加法定理の
sin(Ａ＋Ｂ)＝sinＡcosＢ＋cosＡsinＢを基にして考えます。
√3sinx－cosx＝２{(sinx)(√3/2)＋(cosx)(-1/2)}と式変形して
sinＡcosＢ＋cosＡsinＢと
(sinx)(√3/2)＋(cosx)(-1/2)を比較して
Ａ＝x
cosＢ＝√3/2，sinＢ＝-1/2 より、Ｂ＝－π/6 とおけます
よって、Ｙ＝２sin（x－π/6）と合成できるわけです。

つぎに、πＹ^2 ですが
(sinx)^2＝{1－cos(2x)}/2　（２倍角の公式の変形？）を使って
πＹ^2＝４π{sin(x－π/6)}^2＝２π{1－cos2(x－π/6)}
＝２π{1－cos(2x－π/3)}…(A)　と式変形します。

最後に、(A)の式を　π/6≦x≦7π/6　で積分すればよい訳です。

回答No.1

himajin2005_RC4

>πy＾2を積分すると
最初のは積分じゃありません、
積分しているのは後半一度だけです
>sin＾2(x-π/6)になって
正しくはπsin＾2(x-π/6)です

http://www.orcaland.gr.jp/kaleido/juken/gosei.html
ここの合成を参考に
yを合成するとsin(x-π/6)となるから
πy＾2=πsin＾2(x-π/6)
になるというだけの話
(sinx)^2の積分はこっち
http://ksgeo.kj.yamagata-u.ac.jp/~kazsan/class/geomath/integral.html

部分積分が分かりにくければ
http://phaos.hp.infoseek.co.jp/int2/byparts.htm

あとは今までの話を総合して考えてみてください