数学のパラメータ表示の積分なのですが、

質問

数学のパラメータ表示の積分なのですが、

x=cos^4 y=sin^4　x軸　y軸　で囲まれた面積で、

範囲は(0≦θ≦π/4)です。

微分すると、dx/dθ＝-4sinθcos^3θと出てしまい、
グラフの形が読み取れません。
これはどうすればいいんでしょうか？

どなたか教えてください。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

>x=cos^4θ、y=sin^4θで、x軸、y軸に囲まれた面積を求める問題です。
>範囲は(0≦θ≦π/4)です。

これでは囲まれた領域ができませんので面積も計算できません。
誤：範囲は(0≦θ≦π/4)
正：範囲は(0≦θ≦π/2)
ではないですか？

範囲が(0≦θ≦π/2)だとすれば

S=∫[0,π/2]∫[0,√{cos^8(θ)+sin^8(θ)}]rdrdθ
=∫[0,π/2] (1/2){cos^8(θ)+sin^8(θ)}dθ
=(1/2)∫[0,π/2] [{cos^2(θ)+sin^2(θ)}^4-4cos^2(θ)sin^2(θ)*(cos^2(θ)sin^2(θ))-6(cos^4(θ)sin^4(θ))]dθ
=(1/2)∫[0,π/2] [1-4cos^2(θ)sin^2(θ)-6(cos^4(θ)sin^4(θ))]dθ
=(1/2)∫[0,π/2] [1-sin^2(2θ)-(3/8)(sin^4(2θ))]dθ
=(π/4)-(1/4)∫[0,π/2] [1-cos(4θ)+(3/4)(sin^2(2θ))^2]dθ
=(π/4)-(π/8)-(3/16)∫[0,π/2] [(1/4)(1-cos(4θ))^2]dθ
=(π/8)-(3/64)∫[0,π/2] {1-cos(4θ)}^2dθ
=(π/8)-(3/64)∫[0,π/2] {1-2cos(4θ)+cos^2(4θ)}dθ
=(π/8)-(3π/128)-(3/64)∫[0,π/2] {cos^2(4θ)}dθ
=(π/8)-(3π/128)-(3/64)∫[0,π/2] (1/2){1+cos(8θ)}dθ
=(π/8)-(3π/128)-(3π/256)
=(32-6-3)π/256
=23π/256

お礼

すみません！範囲は(0≦θ≦π/2)でした。

有り難うございます。

回答No.2

spring135

極座標を使って積分します。
r=f(θ)のとき
これによって囲まれる部分の面積Sは
S=（1/2)∫(θ:θ1→θ2）r^2dθ
r^2=cos^8θ+sin^8θ
1=sin^2θ+cos^2θの両辺を２乗して
1=sin^4θ+cos^4θ+2sin^2θcos^2θ
sin^4θ+cos^4θ=1-2sin^2θcos^2θ
両辺２乗して
sin^8θ+cos^8θ=(1-2sin^2θcos^2θ)^2-2sin^4θcos^4θ
等々計算すると
sin^8θ+cos^8θ=cos(8θ)/64+7cos(4θ)/16+35/64
S=（1/2)∫(0→π/4）r^2dθ=（1/2)∫(0→π/4）(sin^8θ+cos^8θ)dθ
=（1/2)∫(0→π/4）(cos(8θ)/64+7cos(4θ)/16+35/64)dθ
=（1/128)∫(0→π/4）(cos(8θ)+28cos(4θ)+35)dθ
=（1/128)[sin(8θ)/8+28sin(4θ)/4+35θ](0→π/4）
=35π/512

(計算があっているか微妙なところです。チェックしてください)

お礼

詳細に有り難うございます！

極座標を使うのですね。おかげでスッキリしました。

回答No.1

Tacosan

式はきちんと書いてほしい. x=cos^4 って何だ. しかも, どんな計算をするのか, そしてなぜ dx/dθ を計算するのかが全くわからん.
さておき, 何を計算したいのかわからんのだがとにかく何も考えずに運算すればいいのでは?
なげやりな感じはあるが問題相応だと思ってくれ.

補足

x=cos^4θ、y=sin^4θで、x軸、y軸に囲まれた面積を求める問題です。
範囲は(0≦θ≦π/4)です。

増減表を描こうと思うのですが、dx/dθ、dy/dθのグラフが掴めず、
増減がよく解らないのです。

うまく質問できずにすみません。
どうしても解らないのでできれば教えてください。