微分積分の問題6です

質問

0<a<π/2とする。2直線x=a,x=2a,曲線y=sinx(a<=x<=2a)、およびx軸で囲まれた図形の面積が1であるとき、aの値を定めよ

この問題の解き方も教えてもらえたらうれしいです

回答No.2

yyssaa · ベストアンサー

0<a<π/2から0<2a<πですから、この範囲でy=sinx＞0です。
従って2直線x=a,x=2a,曲線y=sinx(a<=x<=2a)、およびx軸で
囲まれた図形の面積SはS=∫(a→2a)sinxdx=［-cosx］(a→2a)
=-cos2a+cosa=-(cos^2a-sin^2a)+cosa
=-(cos^2a-(1-cos^2a))+cosa=-(2cos^2a-1)+cosa
S=1ですから-(2cos^2a-1)+cosa=1
2cos^2a-cosa=0　→　cosa(2cosa-1)=0　→　cosa=1/2,0
0<a<π/2ではcosa≠0なのでcosa=1/2からa=π/3となります。

お礼

回答ありがとうございました。
初めから最後まで細かく説明していただけたおかげで、よくわかりました。

回答No.4

NemurinekoNya

おっしゃる通り、a = 1/3πですね。

お礼

2度の回答ありがとうございました。
ここで一度解き方を覚えてまた新たに似たような問題を解くようにしているので解き方を初めから最後まで、あるいは簡単な計算のところは答を書かないようにしていただければ自分のためにもなるので次回からも回答して頂けるのであればそうしていただけると幸いです。

↑長文失礼しましたm(__)m

回答No.3

info22_

#1さんの解答で
>t = cos(a) = 1/2
>よって、a = 2/3π
は間違いじゃないでしょうか？

0<a<π/2の範囲なので

a = π/3
が正解でしょう。

回答No.1

NemurinekoNya

解くのは別にいいんだけれど、答まで書いちゃうとあなたの勉強にならない気がするんだけれど…

0<a<π/2、y = sinx(a<=x<=2a)だと y=sinx>0になるので、
面積s = ∫(a→2a)sinxdx = cos(a)-cos(2a) = 1 (∵∫sinx = -cosx + C）
cos(2a) = 2cos^2(a)-1だから
cos(a) = tと置くと
t-(2t^2-1) = 1
t-2t^2 = 0
t(1-2t) = 0
t = 0, 1/2
t= 0 は解として不適なので、
t = cos(a) = 1/2
よって、a = 2/3π