微積分について。

質問

微積分の質問です。
２つあります。

１．極座標を使って表された曲線r=|cosθ|の囲む部分の面積を求めなさい。

２．曲線y={(e^x)+(e^-x)}/2,(0≦x≦1)の長さを求めなさい。

宿題で出されたのですが、分かりません。
解説などもしていただけるとありがたいです。

よろしくお願いします。

回答No.2

noname#146456 · ベストアンサー

(1)は回答しにくいのですがまずcosθの周期性から
0≦θ≦2πで考えれば十分であることが分かります。
さらに0≦θ≦π/2で考えてみると0≦cosθ≦1なので
r=cosθとなります。

するとこの曲線が描く図形は適当なθを入れてみると
下図のようになることが分かります。
（黒がr、ピンクがθの値を表しています）

よって対称性により求める面積は下図の灰色の部分を
4倍したものに等しくなります。

すると灰色の部分の面積は極方程式で表わされる
図形の面積の公式より
(1/2)∫[0,π/2]r^2dθ
=(1/2)∫[0,π/2](cosθ)^2dθ
=(1/4)∫[0,π/2](cos2θ+1)dθ
=(1/4)[(1/2)sin2θ+θ][0,π/2]
=π/8
となります。

よって求める面積は
4*(π/8)=π/2
となります。

(2)これは曲線の長さの公式：
∫[0,1]√{1+y'^2)dx
に代入するだけです。

すると
y'=(1/2){e^x-e^(-x)}
となるので
1+y'^2=1+(1/4){e^(2x)+e^(-2x)-2}
=(1/4){e^(2x)+e^(-2x)+2}
=[(1/2){e^x+e^(-x)}]^2
となります。

よって求める曲線の長さは
∫[0,1]√{1+y'^2)dx
=(1/2)∫[0,1]{e^x+e^(-x)}dx
=(1/2)[e^x-e^(-x)][0,1]
=(1/2){e-(1/e)}
=(e^2-1)/2
となります。

お礼

分かりやすくありがとうございます！

図付きで解説してくださったので、とても分かりやすく、ベストアンサーにさせていただきました！

ありがとうございます！

回答No.3

info22_

1
曲線の図を描けますか？
描ければ曲線の対称性から第一象限の半円の面積を求めて４倍すれば良いです。面積は半径1/2の半円なので(1/2)π(1/2)^2=π/8 となり、求める面積はこの４倍なので　「(π/8)*4=π/2」となります。
積分で表現すれば
　I=4∫[0,π/2] dθ∫[0,cosθ]rdr
計算すれば「π/2」となりますのでやってみて下さい。

2
曲線の長さの公式を習いませんでしたか？
どの教科書でも載ってると思いますが…。

公式L=∫[0,1] {1+(y')^2}^(1/2) dx
に
y'={(e^x)-(e^(-x))}/2
を代入して定積分を計算するだけ。
　L=(e-(1/e))/2 という結果になればOKでしょう。

回答No.1

Tacosan

どこまでわかってどこでつまったのですか?