円柱を一様電場の中に

質問

真空中の一様な電場Eの中に半径Rの導体の円柱を中心軸が電場に垂直になるように置いた。電位と円柱の表面に誘起される電荷密度を求めよ。
この問題を円筒座標で考えたときr>Rでの解の予想が本ではV=-Ercosθ-acosθ/rとなっていますが、電場の中の導体が球ではr>RではV=-Ercosθ-acosθ/r^2となっています。
円筒座標でのrは√(x^2+y^2)と球座標でのrは√(x^2+y^2+z^2)です。
球でのVの第二項は電気双極子による電位から推測できますが、円筒でのVの第二項はなぜ予想できるのですか？
分母が2乗でないのが理解できません

回答No.2

inara1 · ベストアンサー

球でも円柱でも、解の第二項は「予想」からで出てくるのでなく、ANo.1 さんがおっしゃるように、Laplace方程式を解くことで出てくるものです。
円柱の場合の解は V = -E*r*cosθ - a*cosθ/r でなく、V = -E*rcosθ + E*a^2*cosθ/r が正しいと思います。

この解の第一項は外部電場 E による電位、第二項は、円柱に誘起された電荷による電位です。第二項の一般形は、円柱座標系での Laplace方程式の解
　　　　V（r, θ) = ∑[ n = 1 ～ ∞ ] { an*cos(n*θ) + bn*sin(n*θ) }*( cn*r^n + dn/r^n ) + ( a0*θ + b0 )*{ c0*ln(r) + d0 }
ですが、r → ∞ のとき V が有限値になるためには cn = 0、c0 = 0 でならなくてはならず、電場方向に対する電位の対称性から a0 = 0、bn = 0 となります。また、r = a のとき V = 0 ならば b0*d0 = 0、 a2*d2 = a3*d3 = ・・・ = 0、-E*a + a1*d1/a = 0 なので結局
　　　　V（r, θ) = E*a^2*cosθ/r
となります。

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回答No.1

eatern27

ラプラス方程式の一般解とかを考えるだけのようにも見えますが、
貴方自身は極座標の方でV=-Ercosθ-acosθ/r^2となる事はどのように理解されているのですか？

>分母が2乗でないのが理解できません
2乗にしたらラプラス方程式を満たしませんよね。

お礼

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