電場と電位

質問

無限の長さ、半径Rの円筒の表面に一様な電荷密度σで電荷が分布しています。
[１]周囲の電場Eを円筒の中心軸からの距離ｒの関数として求めなさい。
[２]周囲の電位φ(ｒ)を求めなさい。

このような問題なんですけど、電場が間違えているのか、電位が無限大になってしまって…困ってます。
よろしくお願いします!!

回答No.3

sanori · ベストアンサー

今日、手を怪我したため、式の検討が出来ません。
あまり文字も打てません。
ごめんなさい。

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電位を求める積分で
(i)r<Rのとき
Φ(r)=0
となっているんですが、これは外側表面の電位を基準(Φ(R)=0)にしているからなんでしょうか？
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「円柱内部は（電界がゼロなので）電位も一定だ」と言っている式のようです。
http://www-d.ige.solan.chubu.ac.jp/goto/docs/djk1/p7-1b.ssi
そして、電位φは、本来どこを基準（０）にしてもよいですが、
円柱内部（の全体）をφ＝０にしています。

すみませんが、これにて。

補足

ありがとうございます!!!
ホントに無理を言ってしまって、申し訳ないです…

手、お大事にしてください!!!

回答No.2

sanori

コメントにお答えします。

まず、Ｒ＝０のケースを考えると線密度がπσｒ^2の線電荷になります。
これに関しては、私が過去に投稿した下記のＱ＆Ａが関連します。
式の形は対数関数になります。（だからゼロを基点とすると、無限大が発生する）
http://okwave.jp/qa/q4224969.html
http://qanda.rakuten.ne.jp/qa2963943.html

そして、今回ご質問の円筒電荷は、線電荷が原点ｒ＝０の周りに半径Ｒの円筒表面に分散したものと考えることができます。
ということは、やはり、式に対数が登場することになります。
線電荷による電界を全部足せば（積分すれば）よい、ということですからね。

解くのが面倒なので、ネットで検索しましたら、見つかりました。
中部大学工学部のレポート課題解説のようです。
問題ＩＩを参照。
http://www-d.ige.solan.chubu.ac.jp/goto/docs/djk1/r7.ssi

補足

電位を求める積分で
(i)r<Rのとき
Φ(r)=0
となっているんですが、これは外側表面の電位を基準(Φ(R)=0)にしているからなんでしょうか？
私は
Φ(r)=∫[r→R] 0 dr'+∫[R→∞] σR/εr' dr'
のように考えて、このとき中途半端な距離aのところを決めて
Φ(r)=∫[r→R] 0 dr'+∫[R→a] σR/εr' dr' とし
Φ=Rσ/ε*log(a/R)
となったんですけど…

もう1つ分からなかったのは
(ii)r>Rのとき
Φ(r)＝σR/ε*{log(R/r)}
となっていたんですが、これを導く式が
Φ=∫[r→R] σR/εr' dr'
だと思うんですが
このr→Rがよくわかりません…
私はr→∞だと考えて、さらに中途半端な距離aのところを決めて
Φ=∫[r→a] σR/εr' dr'
で
Φ=Rσ/ε*log(a/r)
としたんです…

折角、検索までしてくださったのに、理解できなくて…
申し訳ないんですが、教えてください…

回答No.1

sanori

こんにちは。

私も、かつて、あなたと同じ‘はまり方’をしたような気がします。
円筒や直線の電荷の場合に遭遇すると思います。
たしか、どっか中途半端な距離のところを決めて定積分の始点にすると、無限大を回避できたような気がします。

お礼

ありがとうございます!!

今実際やってみました。
無限大は回避することができました!

補足

すいません…
実際どのような答えになったか、教えてもらえますか…?
心配になってしまって…