三つの電荷で電位および電場がゼロになる点、

質問

こんにちは、いつも勉強させて頂いております。
少々難癖な問題に出会いました。添付の図と以下の問題文をご覧下さい

[問題]
図のような電荷の配置で、
(1) 電位がゼロになる領域はあるか？ あるとすればどのような領域になるか説明せよ。但し、無限遠を除く。
(2)電場がゼロになる点は何点あるか？　但し、無限遠を除く。

[私の解法（案）]
(1) ある点の電位は添付の式（V =）で与えられる。この点が今R2から十分に離れたところに位置するとする。すると、|R1 – R| |R3 – R| |R2 – R| はほぼ同じになるため、Vは正の値である。そしてこの点をR2へ近づけると、|R2 – R|がゼロに近づき、式の右辺の負の項は無限大に近づく、一方で、|R1-R|と|R3-R|は各々|R1-R2|, |R3-R2|に近づくだけで両者とも有限の値である。したがって、Vは負の値となる。したがって、R2から十分に離れた点とR2に十分に近い点の間にV = 0 となる点が存在する。これはR2の周囲360oに共通していることのため、V = 0 となる点の集合は閉じた線分（おそらく楕円のような形）となる。

[疑問]
この操作（ある点をR2から十分離れたところから、R2へ十分近づける）の中で、V = 0となる点は、たった一度だけということは証明できるでしょうか？

(2) これは計算しようとするとかなり煩雑になるのですが、一般式だけで示させてもらいますと、ある点(a, b)にQの電荷があり、この電荷がある点（X, Y）に形成する電場のx軸成分とy軸成分をEx Eyとすると、それらは添付の式で表されます。この(a, b)にたいして、R1, R2, R3の座標を当てはめ、
それら三つのExの合計= 0,
三つのEy の合計= 0
となる(X, Y)を求めれば、良いかと思っています。ただ式が煩雑すぎます。問題は、座標を求めろという訳ではなく、何点あるかということなので、
三つのEx の合計= 0, 三つのEyの合計 = 0
の解がいくつあるかという問題ということになります。

[疑問]
数学的な質問になりますが、この解の数はいくつになるのでしょうか。
何とかすれば、ExおよびEyの式は、それぞれが、(X + t)^2 + (Y + s)^2 = u^2の形になりそうなので、二つの円の交わりが解となり、解の数は2つとなりそうですが、
いかがでしょうか。

以上、数学寄りな質問になってしまったかもしれませんが、どうか宜しくお願いします。
私の文面が分かりづらい場合などご指摘頂ければ修正致しますゆえ、どうか回答の程、重ねてお願いします。

回答No.3

yokkun831 · ベストアンサー

数学的補足です。

(1)(2)ともに定性的な結果は，電位と電場の形状をイメージするだけで，ほとんど自明です。

(2)については，点電荷がつくる場において場の強さがゼロになる点はいわゆる「鞍点」しかありません。なぜなら，電位の山頂や谷底ができるとすればその点から場が放射状にできますから，その点は場の湧き出し（正電荷）または吸い込み（負電荷）になるからです。したがって，電場がゼロになる点は同符号電荷の間にできる「鞍点」のみになります。これはいわゆる「アーンショーの定理」と同値であると思います。

お礼

>電位の山頂や谷底ができるとすればその点から場が放射状にできますから，その点は場のき出し（正電荷）または吸い込み（負電荷）になるからです。

なるほど、逆転の思考ともいうべきでしょうか。とても納得しました。
いつもありがとう御座います。

回答No.6

yokkun831

何度もすみません。

ベクトル場の矢印が逆になっていますので，おわびとともに訂正いたします。

お礼

いつもありがとう御座います。yokkun831様のおかげて、物理をとても楽しく勉強させてもらっています。電磁気は目に見えないものを扱うこと、スカラーもベクトルも扱い、とくに方向まで考えなければいけないこと、が理解を難しくしている気がします。また、似たような式、似たような言葉（電位、電場）、同義語（電場、電界　電位、ポテンシャル）が現れて、頭を良く整理しないとうる覚えで終わりそうで、気をつけております。電磁気関連で再び質問をさせてもらいたいことがあるのですが、是非ともお力添え頂ければとても幸いです。どうぞ宜しくお願い致します。

回答No.5

yokkun831

(2)については，ANo.4さんのおっしゃるとおりですね。私の示した図でもまちがいなく負電荷の右上に電場ゼロの点が見えます。この点も同じように「鞍点」になっています。私の見落としでした。

お礼

ありがとう御座いました。

回答No.4

Quarks

(2)に関しては、２点有るのではないでしょうか。

１つ目は、既に指摘されている位置です。
もし、２つの正電荷しかなければ、正電荷を結ぶ線分上で、電場の様子が"鞍部"になっているところですが、今は負電荷がその"右上"にありますから、電場の傾きが、正電荷しかない場合に較べて、負電荷に向かって少し傾く感じになります。このため、正電荷を結ぶ線分よりも少しだけ原点寄りの辺り（他の回答者さんが図示して下さっている点）になるはずです。

２つ目は、負電荷の少し右上辺りに有るはずです。上の議論のように、２つの正電荷しかない場合は、負電荷が在る辺りは"右上に向かって下る"電場ができています。一方、負電荷は負電荷に向かう"窪んだ"電場を作りますから、先の電場とは傾きが異なります。互いに打ち消し合う可能性が有るわけです。
原点から遠くに有る点では電位は正で、電場の"傾斜"は原点側が高くなっています。一方、負電荷の極く近傍では、（問１の結果＝負電荷の近くに電位０の位置が有ることから、電位が負になっている場所が有るわけで）明らかに負電荷に落ち込む向きの"傾斜"ができています。つまり、負電荷の"右上"付近には、傾斜が０になっている点が１点だけ有るはずです。

　２点目について、ちょっと回りくどい書き方になってしまいました。単刀直入に言えば、次のようになるでしょうか。
　正電荷しかない場合、なだらかな傾斜を持った山が２つだけある地形に相当する電場ができています。この地形の任意の適当な位置に深さ無限大の深い窪地を穿ったら、その窪地の周辺の１カ所に傾き０の地点が存在するはずです。

お礼

ありがとう御座います。とても丁寧に説明頂きまして助かりました。

回答No.2

yokkun831

続きです。

(2) 電位のグラフの形状およびベクトル場（電気力線）の形状から，電場ゼロの点は２つの正電荷の間にひとつだけであると判断されます。

お礼

なるほど、ありがとう御座いました。

回答No.1

yokkun831

計算はしていませんが，

(1) 十分遠方の電位は近似的に６Ｃの点電荷のものに等しいので，遠方で電位ゼロは無限遠のみ。負電荷の位置に穴ができるので，近傍で電位ゼロは負電荷を囲む曲線になる。

と思います。

お礼

ありがとう御座います。