値の範囲

質問

0<y=<x=<1,1-y<x<1+yのとき、
(1+x^2+y~2)/(x+xy+y)の値の範囲を求めよ。

考えたのは次の(1)(2)(3)ですが、0<y=<x=<1,1-y<x<1+yの使い方が
よく分かりません。よろしくおねがいします。
(1)x+y=s,xy=tと置いて、与式=(1+s^2-2t)/(s+t)としてはみましたが、
　この先進まず。
(2)与式=kと置いて、xについての２次方程式とみて、と思いましたが、
　やっぱり、条件をどう使って良いか分からず。
(3)グラフからとも考えましたが、これは(1)(2)よりもますます分からないと
　思い断念。
　よろしくおねがいします。

回答No.1

mister_moonlight · ベストアンサー

時間がないので、最後まで計算はしてないが、君の(1)の方針でいけるだろう。
但し、2変数問題になるようだが。

x＋y＝a、xy＝bとすると、a＾2-4b≧0　‥‥(1)
0≦y≦x≦1、1-y＜x＜1＋y　　を　xy平面上に図示して　aとbの各々の値の範囲を定めると、0＜a≦2、0＜b≦1　‥‥(2)
一方、Ｐ＝(a＾2-2b＋1)/(a＋b)＝-2＋(a＋1)＾2/(a＋b)と変形できるから、先ずaを固定してbを動かしてみる。
bが最大の時Ｐは最小、bが最小の時Ｐは最大。その次に、aを動かしてみる、という事になる。

ここまで来れば、後は自力で出来るだろう。

お礼

回答ありがとうございます
0≦y≦x≦1、1-y＜x＜1＋y　　を用いて　aとbの各々の値の範囲を定めると、0＜a≦2、0＜b≦1　
ここのところの処理が分からなかったのですが、分かりました。
あとは、x-1<p=<x+1/x,0<x=<1から、1<p=<2となりました。

回答No.4

info22_

x+y=u, x-y=vとおくと
x=(u+v)/2, y=(u-v)/2 …(A)
これを領域の不等式
0<y=<x=<1,1-y<x<1+y
に代入すると
0<u-v<=u+v<=2, 2-u+v<u+v<2+u-v
∴0<=v<u<=2-v,1<u　…(B)
この領域を図示すると黄色に塗り潰した領域になる。
(黒線の境界は含み黒線のない境界は含まず。）
(A)を評価式に代入する。
分母=u+(u^2-v^2)/4>0 …(C) (∵(B)より)
分子=1+(u-2+v^2)/2
なので
(1+x^2+y~2)/(x+xy+y)=2(2+u^2+v^2)/(4u+u^2-v^2)(=kとおく）
2(2+u^2+v^2)=k(4u+u^2-v^2)
(2-k)u^2-4ku+(2+k)v^2+4=0 …(D)
(2-k){u-2k/(2-k)}^2+(2+k)v^2=4(k+2)(k-1)/(2-k)…(E)
k=2の時　8u-4v^2=4 u=(1/2)(v^2+1)
この放物線は(B)の領域を通らないのでk≠2
k=-2の時 -4u^2-8u=4 (u+1)^2=0 ∴u=-1
この直線は(B)の領域を通らないのでk≠-2
したがって(E)は２次曲線で
u,vの存在条件からk≧1で,(B)の領域（黄色の塗り潰した領域）を通過するkの範囲を図的に求めると

　1≦k＜2 ∴1≦(1+x^2+y~2)/(x+xy+y)＜2

と得られる。k=1の時はu=2,v=0からx=y=1の時である。k→2の時は(u,v)→(1,1)の時、すなわち(x,y)→(1,0)の時である。

お礼

回答ありがとうございます
条件の不等式を領域と見て考えるということですね。
そのとき、x+y=u, x-y=vとおいて、グラフの形考えやすいように
変形するという流れですか。うまくいくもんですね。
ありがとうございます。

回答No.3

mister_moonlight

ふっと思いついた、こっちの方が簡単に行く。

1+x^2+y＾2＝bとすると、これは原点を中心とする半径＝√(b-1)の円。
x+xy+y＝aとすると、これは　双曲線：(x+1)*(y+1)＝a+1　であるから、条件：0＜y≦x≦1、1-y＜x＜1＋y　の範囲でaとbの各々の値の範囲を定める。それくらいは簡単だろう。
k＝b/a　とすると、b＝kaであるから、これは原点を通る傾き：kの直線。
後は、aとbの値の範囲で　kの値の範囲を定めるだけ。

実際の計算は自分でやって。

お礼

回答ありがとうございます
いろいろな見方があるのだと参考になります。
分数だから、傾きの範囲として捉えるのはよくあると思うのですが、
分子全体、分母全体をb,aとみるのは先を見通さないとなかなか難しいと思いました。

回答No.2

nag0720

s=(x+1)+(y+1)-1
t=(x+1)(y+1)-1
とおけば、
与式＝s^2/t - 2
と簡単な式になります。

あとは、s,tの範囲を求めればなんとかなるでしょう。