置換する際の存在条件（高校レベル）

質問

x^2 + y^2 = 1
x > 0
y > 0

のときの z = x^3 + y^3
の最小値を求める問題なんですが

まず x + y = t と置いて
x^2 + y^2 = t^2 - 2xy = 1
∴ xy = (t^2 - 1) / 2

ここで z = x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 -xy + y^2)
= t * (t^2 - 3xy)
= t * (t^2 - 3(t^2-1) /2)
として微分してグラフを書いて値域を求めるんですが、

tの範囲が円のグラフから 1 < t < √2 となるのはわかるんですが、
変形の過程でいつその条件が現れてくるのか分かりません。
x + y = t
とするときに t > 0 となるのと
xy = (t^2 - 1) / 2 > 0 より t > 1
とするのはわかるんですが、いつ√2の条件が出てくるのでしょうか。

また、この条件は円のグラフをイメージしないとでてこないのでしょうか。
つまり a^2 = u と置くときに ∃a ⇒ u > 0 みたいな感じで、２乗の条件から出したり、
a > 0 , b > 0, a + b = 1 , a + 5 = z みたいなのがあって
a = 1 - b として a を削除するときに
∃a , a > 0 ⇒ 1 - b > 0 より b < 1 みたいな感じで不等式から条件を出したりするようにはできないのでしょうか。

わかりにくくてすいません。よろしくお願いします。ちなみに強引に変形してyを消去してxで微分という方法はわかります。この方法での疑問点について答えてください。

回答No.4

info22 · ベストアンサー

>いつ√2の条件が出てくるのでしょうか。
> x+y=t
から　y=t-x
これを
x^2+y^2=1
に代入すると
x^2+(t-x)^2=1
2x^2-2tx+t^2-1=0
xの実数条件から
判別式D/4=t^2-2(t^2-1)=2-t^2≧0
これとt=x+y>0から
0＜t≦√2
が出てきます。
等号はx=(√2)/2の時
この時 y=√2-(√2)/2=(√2)/2

なお、x=y=(√2)/2の時
最小値=2((√2)/2)^3=(√2)/2
となります。

別解）
x=cos(t),y=sin(t),0＜t＜π/2
とおくと
K=x^3+y^3=(cos(t))^3+(sin(t))^3
=(cos(t)+sin(t))((cos(t))^2+(sin(t))^2)-cos(t)sin(t)(cos(t)+sin(t))
=(cos(t)+sin(t))(1-cos(t)sin(t))
この大小を調べると0＜t＜π/2の範囲で
(√2)/2≦K＜1が出てきます。
t=π/4で最小値は(√2)/2ですね。

お礼

一度対称性を崩して x∈Ｒ (or y) の存在条件を求めるということですね

納得しました
みなさん、ありがとうございました

回答No.3

gef00675

相加相乗平均の不等式 (x+y)/2≦√(xy)を使ってもよいです。
t/2≦√((t^2 - 1)/2)
∴t≦√2

回答No.2

KitCut-100

x^2 + y^2 = 1
x > 0
y > 0

回答
t=x+yとおきまます。
このような置き換えを行った際の tの範囲は、
1) x>0. Y>0よりのまず ｔの条件 t>0
x=0で y=1ですので t=1 t>1がでます。

2) tの値により、元の x,yが実数解である条件が
もう一つの条件になります。
y=t-x としでもとの式に代入して判別式をもとめると
D=2-t^2
となり t< √2 となります。

この1).2) より 1< t< √2 となります。
御質問のいつ√2が出てくるかはには、 t=x+yとして瞬間に決まっててきます。

回答No.1

Tacosan

t ≦ √2 を出すだけなら「Cauchy-Schwartz の不等式」を使えば OK.