xyzの値の範囲

質問

x+y+z=4,x^2+y^2+z^2=6のとき、xyzの値の範囲を求めよ。

次の流れの解法は分かります。別解があったら、教えてください。
xyz=kとおく。
x+y+z=4,xy+yz+zx=5,xyz=kより、x,y,zを解とする方程式は、
t^3-4t^2+5t-k=0で、これが、３つの実数解をもつ条件を
考えればよい。
k=t^3-4t^2+5t　から、y=kとy=t^3-4t^2+5tのグラフの交点
から考えていく。

回答No.5

naniwacchi · ベストアンサー

こんにちわ。

解法というところまでいかないのですが・・・

この問題自体、今年の入試問題でしたよね。
その平面と球の位置関係に「対称性」を見ることで、
最大値・最小値の「当たり」をつけることができます。

「対称性」を見るために、
添付のように x+ y+ z＝ 4の平面に垂直な方向から見た絵を考えます。
すると、x軸、y軸、z軸との位置関係についても対称性が見られます。

よって、2点 Mxと My間の円弧上の点で最大・最小を与えるはずだ。ということになります。
（いま、考えている xyzという式も対称な形になっているので）
区間の端で最大値であれば、区間の真中（点Nz）で最小値になる。
逆に、区間の端で最小値であれば、真中で最大値になる。という考えになっています。

アプローチとしては、#3さんの回答と同じになります。
#3さんの回答では、半径：√(2/3)の円周上の点になるという意味で、
＞(ξ,ζ) = (√(2/3))(cosθ, sinθ)とパラメータ表示できて、

となっています。
そういう意味では、#3さんの回答のおおざっぱ版といったところでしょうか。

あくまでも「当たり」までしか到達できないので、回答としては苦しいです・・・
参考程度にとどめておいてください。

お礼

回答ありがとうございます
球と平面から図形的に処理しようとする流れなのかな
理解がよくできていません

回答No.7

naniwacchi

#5です。

＞球と平面から図形的に処理しようとする流れなのかな
＞理解がよくできていません
「対称性」を見るのであれば、
先の回答で示した図を 120度ずつ回転させて（or 違った角度から）見てください。
背景になっている軸の位置と手前の色のついた矢印の位置関係が、
同じになっていることがわかると思います。

なので、どこか円弧の 1/3の部分だけについて最大・最小を考えれば、
あとは座標の値が入れ替わっているだけなので同じようなところで最大・最小をとる。
さらに、1/3の部分も左右対称になるので、真中の点がポイントになる。
という考え方です。

・平面の法線ベクトルが (1, 1, 1)と x, y, zの各方向に等しくなっていること。
・球面も原点を中心としていて、原点を中心に回転させても変わらないこと。
・xyzという式も対称になっていること。（直方体の体積という見方もありますね。）
これらを利用していることになります。
（こういうのは、一言でいうと「回転対称性」と言って、
原点と円の中心を結んだ直線がその回転軸になっています。）

「円に内接する三角形で面積が最大となるものは？」
こんな問題でも円自体が対称性をもっているので、答えとなる三角形も対称性をもったものになりますね。
本質的には同じことを意味することになります。

大学に行くと、よく見るようになると思います。（特に物理分野では）
頭の片隅にでも置いておけばよいかと。

お礼

回答ありがとうございます
(x,y,z)を円の１／３で考えてもよいことは理解できました
xyzの値が直方体の体積と捉えることができるのは、参考になります

回答No.6

pascal3

こんにちは。 No.3 に補足します。

まず図形的イメージから入って問題の対称性を把握するという意味では No.5 のおっしゃるとおりで、
あとはそれを計算で裏付ける、ということです。

> φは sinθの3次多項式となる。
> あとは他の方の解答と同じ。

No.1 の方の書かれているのと似たような考え方で、
条件 |sinθ| ≦ 1 のもとで3次多項式の値域を求める、という意味です。

あるいは、もし3倍角の公式が即座に書けるなら（または
対称性の考察から勘がはたらくなら）、
結果を 3θ で書き直すと非常にシンプルな形になります。
このステップは、ある意味では Q No.6571146 と同じことなのですね。

参考URL：

http://okwave.jp/qa/q6571146.html

回答No.4

Tacosan

力技としては t^3-4t^2+5t-k=0 から判別式という手もないわけじゃないけど....
そもそも「3次方程式の判別式」なんて使っていいものなんだろうか?

お礼

回答ありがとうございます
3次方程式の判別式は興味をそそられるけれど
実数解を０こもつとか１つもつとか２つもつとか３つもつを判別するのでしょうか

回答No.3

pascal3

x + y + z = (1,1,1)・r と書けることに着目した別解。

次の3つのベクトルは正規直交：
a = (1,－1,0) / √2
b = (1,1,－2) / √6
c = (1,1,1) / √3

そこで
ξ = a・r = (x－y) / √2
η = b・r = (x＋y－2z) / √6
ζ = c・r = (x+y+z) / √3
と置くと
ξ^2 + η^2 + ζ^2 = x^2 + y^2 + z^2 = r^2

ここで条件より ζ = 4/√3, r^2 = 6 だから
ξ^2 + η^2 = 6 － 16/3 = 2/3

したがって
(ξ,ζ) = (√(2/3))(cosθ, sinθ)
とパラメータ表示できて、これから x, y, z がすべてθの式で書ける。
したがって、任意のスカラー場 φ(r) の最大値と最小値を求めることが原理的に可能。
特に φ(r) = xyz の場合、与えられた条件のもとでφは sinθの3次多項式となる。
あとは他の方の解答と同じ。

さらなる別解としては、どこかの段階でLagrangeの未定乗数法に持ち込んでもいいでしょう。

なお、a,b,c をどうやって考えたか？ については、
c は最初に書いたとおり、次に a を適当に c と直交するように決めて、
あとは c×a を計算しました。

お礼

回答ありがとうございます
雰囲気を味わう段階で、理解の段階にいっていない
と言う状態です。

回答No.2

mister_moonlight

敢えて、探した別解。　言ってみれば、別解のための別解。

x-1＝a、y-1＝b、z-1＝cとすると、a＋b＋c＝1.
x^2+y^2+z^2=6から、a＾2＋b＾2＋c＾2＝1　→　ab＋bc＋ca＝0
xyz＝abc＋2　‥‥(1)　abc＝k　とすると、a、b、cは　f(t)＝t＾3-t＾2-k＝0の3つの実数解。
f(t)´＝t(3t-2)であり、この方程式が　3つの実数解(重解を含む)を持つから、(極大値)*(極小値)≦0　→　(k)*(27k+4)≦0
これに、xyz-2＝k　を代入すると、同じ結果になる。

しかし、冴えない解法だな。質問者の解法をグラフではなく、計算で解いただけだな。。。。。ｗ

回答No.1

mister_moonlight

質問者の回答の方が良いんだが、別解を探すと。。。。。ｗ

x＋y＋z＝4、xy＋yz＋zx＝5から、y＋z＝4-x、yz＝x＾2-4x＋5　
従って、yとzは　t＾2-(4-x)t＋(x＾2-4x＋5)＝0の2つの実数解だから、判別式≧0　より　2/3≦x≦2 ‥‥(1)
Ｐ＝xyz＝x(x＾2-4x＋5)　‥‥(2)　後は、(1)の範囲で(2)の値域を定める。微分か。。。。

お礼

回答ありがとうございます
(1)の範囲で(2)の値域を定める。
考え方が勉強になります