次の不等式の表す領域で、1次式Fがとる値の範囲を求めよ

質問

次の不等式の表す領域で、1次式Fがとる値の範囲を求めよ
y>2x(2)+3x-5　F=x-y　　※(2)は二乗
x-y=kとおくと、y=x-k
y=2x(2)+3x-5とy=x-kの連立方程式を解いて
2x(2)+2x+k-5
この式が重解をもつとき（つまり2次関数の頂点を通るとき）kが最小値をとるから
判別式D=-8k+44=0
k=11/2
答：11/2<x-y

こんな感じで解いたのですが答えはx-y<11/2となっていました。
私が違うのか、答えが違うのか、どちらが正しいのか教えてください。

回答No.2

aquatarku5 · ベストアンサー

NO1の者です。領域が「≧」でなく「＞」でしたね。
不正確な内容があったので、訂正します。

「・・・重解をもつとき・・・kが最小値をとる
→「最小値」でなく「最大値」ですね。ただし、
　領域の境界（放物線上）を含まないので、
　「最大値」だと不正確です

題意より、y=2x(2)+3x-5とy=x-kが、異なる2点で
交わる必要がありますので、
判別式D>0　即ち8k<44ですね。

お礼

丁寧にご回答ありがとうございます。
判別式で考えるとちゃんとk<11/2がでてきました。

普段は図を描いて最大値最小値を判断していたのですが、今回の図も下に凸の図だったので最小値なんだと思っていました。

回答No.1

aquatarku5

＞・・・重解をもつとき・・・kが最小値をとる
「最小値」でなく「最大値」ですね。

題意より、y=2x(2)+3x-5とy=x-kが、接する、
もしくは異なる2点で交わる必要がありますので、
判別式D>=0　即ち8k<44ですね。

たとえば、(x,y)=(0,0)は、不等式の表す領域内で、このときF=0です