数学の問題です。解き方が分かりません。教えて？

質問

xy平面上の曲線Cが媒介変数t(0≦t≦π/2)によって，x=2cost-1，y=sin2t　と表されるとき以下の問いに答えなさい。
(1)xの値の範囲を求めなさい。
(2)yをxの式で表しなさい。
(3)t=π/3のときのC上の点をPとし，PにおけるCの接線Lの方程式を求めなさい。
(4)Cの方程式をy=f(x)，Lの方程式をy=g(x)とおく,(1)で求めたxの範囲において，f(x)≦が成り立つことを示しなさい。
(5)CとLとχ軸で囲まれた部分の面積を求めなさい。

回答No.1

info22_

(1)
0≦t≦π/2のとき　1≧cos(t)≧0だから
　0≦2cos(t)≦2
x=2cos(t)-1より
　∴　-1≦x≦1

(2)
x=2cos(t)-1より
　cos(t)=(x+1)/2 ...(A)
0≦t≦π/2なので　sin(t)≧0
　sin(t)=√{sin^2(t)}=√{1-cos^2(t)}
(A)を代入
　sin(t)=√{1-((x+1)^2/4)}
　　　　=(1/2)√(3-2x-x^2)　... (B)
(A),(B)より
　y=sin(2t)=2sin(t)cos(t) (∵２倍角の公式より)
　 =2*(1/2)√(3-2x-x^2)*(x+1)/2
　∴y=(1/2)(x+1)√{(3+x)(1-x)}

(3)
　dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=2cos(2t)/(-2sin(t))=-cos(2t)/sin(t)
t=π/3のとき
　dy/dx=-(-1/2)/((√3)/2)=1/√3
　x=2cos(π/3)-1=0
　y=sin(2π/3)=(√3)/2
P(0,(√3)/2)
接線L:y=(x/√3) +(√3)/2

(4)
C:y=f(x)=(1/2)(x+1)√{(3+x)(1-x)}
L:y=g(x)=(x/√3) +(√3)/2

>f(x)≦が成り立つことを示しなさい。
不等式が不完全？

正：f(x)≦g(x)が成り立つことを示しなさい。
であるとして
(1)より　-1≦x≦1
この範囲で
f(x)≧0,g(x)≧0なので
h(x)=(g(x))^2-(f(x))^2 (-1≦x≦1)
={(1/3)(x^2)+(3/4)+x}-(1/4)((x+1)^2)(x+3)(1-x)
=(1/12)(x^2){3(x+2)^2-2}

-1≦x≦1の範囲でh(x)の最小値を求める。
　h'(x)=(1/12)(2x){3(x+2)^2-2}+(1/12)(x^2){6(x+2)}
=(1/3)x(3x^2+9x+5)
　h'(x)=0の解はx=0,-(9±√21)/6
-1≦x＜-(9-√21)/6の時
　h'(x)＞0 単調増加
　h(-1)=1/12>0なので　h(x)＞0
-(9-√21)/6＜x＜0の時
　h'(x)＜0なので単調減少
　h(0)=0なので h(x)＞0
x=-(9-√21)/6の時　極大値h(-(9-√21)/6)＞0
0＜x≦1の時　
　h'(x)>0なので　h(x)は単調増加
　h(0)=0なので f(x)＞0
x=0の時　h'(0)=0なのでh(x)はx=0で極小値h(0)=0をとる。

以上から-1≦x≦1でh(x)はx=0で最小値h(0)=0をとり、x≠0ではh(x)＞0
従って-1≦x≦1の範囲で　h(x)=(g(x))^2-(f(x))^2≧0　(等号はx=0の時のみ成立)

-1≦x≦1の範囲で g(x)≧0, f(x)≧0なので
　∴f(x)≦g(x)

(5)
>CとLとχ軸で囲まれた部分の面積を求めなさい。
これでは、何処の部分の面積分かりません？
問題に間違いがないかチェック願います。

(1)で求めたxの範囲のCとLで囲まれた部分の面積なら
S=∫[-1,1] |g(x)-f(x)| dx
=∫[-1,1] (g(x)-f(x)) dx
で計算できます。