不定積分

質問

∫√(x^2-1)dxを求めよ。
次のようにやりましたが、うまくいきませんでした。
よろしくおねがいします。
(1)　Ａ=x√(x^2-1)-∫x^2/√(x^2-1)dx
=x√(x^2-1)--∫(x^2-1+1)/√(x^2-1)dx
=x√(x^2-1)-∫√(x^2-1)dx-∫1/√(x^2-1)dx
よって、2A=x√(x^2-1)-∫1/√(x^2-1)dx
∫1/√(x^2-1)dxをもとめればよいが、うまくいかないと判断。
(2)　　x=tanθと置き換えてと考えてみましたが、簡単にならず。

回答No.4

info22_ · ベストアンサー

双曲線関数(参考URL参照)を習っているなら
x=cosh(t)と置換するとよい。
I=∫√{cosh^2(t)-1}sinh(t)dt=∫sinh^2(t)dt
=(1/2)∫{cosh(2t)-1}dt
=(1/4)sinh(2t)-(t/2)+C
=(1/2)sinh(t)cosh(t)-(1/2)t+C
=(1/2)x√(x^2-1)-(1/2)cosh^-1(x) +C

もし高校生で習っていないなら
t=x+√(x^2-1)と置換して積分してみてください（高校レベルで解くにはこの置換方法でないと解けません。これは定石です）。
I=(1/2)x√(x^2-1))-(1/2)log{2x+2√(x^2-1)}+C
もちろんこの式と上の積分結果は表現は違いますは全双曲関数の公式を使えば同じ式です。

参考URL
http://hooktail.sub.jp/mathInPhys/hyperTrigF1/

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/双曲線関数

お礼

回答ありがとうございます
t=x+√(x^2-1)と置換するのは、定石ですか。
試してみます。

回答No.3

R_Earl

申し訳ありません。ANo.2の回答は間違ってました。
なので私の回答は無視して下さい。

回答No.2

R_Earl

> ∫√(x^2-1)dxを求めよ。

高校数学では求めることができません。

> ∫1/√(x^2-1)dxをもとめればよいが、うまくいかないと判断。

arcsinxを微分すると1/√(x^2 - 1)になるので
∫1/√(x^2-1)dx = arcsinx + Cとなります。

回答No.1

naniwacchi

こんにちわ。

＞∫1/√(x^2-1)dxをもとめればよいが、うまくいかないと判断。
テクニックになってしまいますが、
ここで x+ √(x^2-1)＝ uとでも置いてみてください。

うまくいくようになると思います。＾＾

お礼

回答有り難うございます
双曲線の面積を求めるとき、この積分がでてきました。
x+ √(x^2-1)＝ u　これはしっていないといけないですね。