三角関数の不定積分

質問

∫{1/(1+2sin x)}dx の解法を教えて下さい。

t = tan x/2 と置けば、
sin x = 2t/(1+t^2)
dx = 2/(1+t^2)dt となり、
計算していくと、
∫{2/(t^2+4t+1)}dt
となると思うのですが、その先の解法が分かりません。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

＞∫{2/(t^2+4t+1)}dt
ここまではあっています。
被積分関数の分母
(t^2+4t+1)=(t+2)^2 -3=(t+2-√3)(t+2+√3)
が因数分解できますから
被積分関数を部分分数展開してやると
2/(t^2+4t+1)＝(1/√3)[{1/(t+2-√3)} -{1/(t+2+√3)}]
となるから
I=(1/√3)log|(t+2-√3)}/(t+2+√3)| +C
となります。
後、t=tan(x/2)を代入して整理すれば良いでしょう。

お礼

ご回答いただきありがとうございました。大変参考になりました。

回答No.1

connykelly

∫{1/(t^2+4t+1)}dt=∫1/{(t+2)^2-3}dt=∫1/{(p-√3)(p+√3)dp=
(1/2√3)[∫1/(p-√3)dp-∫1/(p+√3)dp]、（p=t+2）と部分分数に展開すればいかがでしょうか。蛇足ながらlnx=∫(1/x)dxでしたね。

お礼

ご回答いただきありがとうございました。