【不定積分】全10問解答お願いします※1問からも可

質問

数学がとても苦手で全然解法が思いつきません。
下の問題がわかる方はお願いします。

次の不定積分を求めよ。ただし、a＞0とする。

(1)x^2/1+x^6　　　　　　　　答え　tan^-1x^3/3

(2)x/√4-x^4　　　　　　　　答え　sin^-1(x^2/2)/2

(3)1/cos^4x　　　　　　　　　答え　tanx+tan^3/3

(4)1/√(a^2 +x^2)^3　　　　答え　x/a^2√(a^2+x^2)

(5)1/(x^2+1)^2　　　　　　 　答え　(tan^-1 x)/2+x/2(1+x^2)

（6)x^3√1-x^2　　　　　　 　答え　-(3x^2 +2)√(1-x^2)^3/15

(7)x^2 tan^-1 x　　　　　　　答え　{2x^3 tan^-1 x -x^2+log(1+x^2)}

(8)xtan^2 x　　　　　　　　　 答え　xtanx-x^2/2 +log|cosx|

(9)x^2 -1/x^4 +1　　　　　　 答え　1/2√2 * log(x^2 -√2 x+1)/x^2 +√2 x+1)

(10）(x-1)^2/(x^2 +1)^2　 　答え　tan^-1 x +1/x^2+1

という問題10問です。
教科書の後ろに答えだけはのっていたので、
参考にしてください。
全部じゃないけど何問かならわかるという方も
回答していただけたらと思います。

回答No.3

info22_

式を良く観察して、置換積分してみたらどうですか？

(1) x^3=t とおくと　(tan^-1(t))'=1/(1+t^2) の公式が見えてきませんか？

(2) x^2=2t とおくと　(sin^-1(t))'=1/√(1-t^2)の公式が見えてきませんか？

(3) 1/cos^4(x)={1/cos^2(x)}+{(1-cos^2(x))/cos^4(x)}
={1/cos^2(x)}+{(sin^2(x))/cos^4(x)}
=1/cos^2(x)}+(tan^2(x)){1/cos^2(x)}
と変形すれば
(tan(x))'=1/cos^2(x)の公式が見えてきませんか？

(4) (a^2 +x^2)=t と置換すると積分できませんか？

先ずはここまでやってみて下さい。

お礼

回答ありがとうございます。
やってみます。

回答No.2

Tacosan

例えば (1) の答に x^3 があるよね. これがどうしてでてくるのか, もとの関数と比較して考えた?

もっとも, (1) に関しては部分分数に分解できるので (これくらいはできるよね?) 強引に積分したっていい. 結果の式は (1) の答とは全然違うが, 微分してみれば確かにもとに戻ることは確認できる.

お礼

回答ありがとうございました。
やってみます。

回答No.1

Tacosan

答の方からなんとかしようというつもりはないの?

お礼

他の13題は詰まったら答を微分してみて、
なんとかなった問題はあるのですが
この10題はできませんでした。
私の学力不足です。
ご指摘ありがとうございます。