不定積分

質問

∫√（x^2-2）dx

(1)部分積分で、x√（x^2-2）-∫x^2/√（x^2-2）dx
この後進まず。
(2)置換積分で考えました
　ア　三角関数でxを置き換え替えようとしましたが、sin,cos,tanいずれもダメなように思う
　イ　他はあるのか

方針が分かればいいので、よろしくお願いします。

回答No.1

momordica · ベストアンサー

三角関数を利用する置換積分なら、
　x=(√2）/cos(t)
などと置けば、
　x^2-2=(2/(cos(t))^2)-2
　　　　　=2(tan(t))^2
となりますので、一応何とかなるはずです。
tの範囲や絶対値の扱いなどには注意してください。

あとは、
　x+√(x^2-2)=t
と置いて置換積分するという手もあります。
なんでそんな置き方をするのかと聞かれても、うまくいくから仕方ないというところです。

お礼

回答ありがとうございます
x=(√2）/cos(t)
でトライしたいと思います。

回答No.4

WiredLogic

#1さん、#2さん、#3さんが、既に回答されていることを、高校生向きに、まとめて説明すると…

書くのが面倒なので、元の問題を、∫√(x^2 - 1)dx で考えます

√の中身が(x^2 - a^2) (a＞0) のときなら、置換のとき、a倍すれば、OK

これは、x = tの式、の置換で、x^2 - 1 = t^2 となるようにできると、先が簡単ですね。

で、高校の範囲で考えると、候補は２つ。

一つは、#1さんのように、(tan(t))^2 + 1 = 1/{cos(t)}^2、を使うもの。
x = 1/cos(t) と置換すると、x^2 - 1 = 1/{cos(t)}^2 - 1 = {tan(t)}^2、
dx/dt = sin(t)/{cos(t)}^2、なので、一応、先へ進めます。ただ、その先で悩む可能性も。
(補足で、これでいけそうと書いていた奴ですね。できましたか？)

大学数学だと、1/cosθ = secθ (読みは、セカント・日本語では正割) という高校で習わない三角関数の新種^^があって(参考書によっては、書いているものも)、微分の公式も、(tanθ)' = secθ などと書いてあります。

もう一つは、#2さん、#3さんの回答のように、c(t) = {e^t + e^(-t)}/2, s(t) = {e^t - e^(^t)}/2、を使うもの。
x = c(t) とおくと、x^2 - 1 = {c(t)}^2 - 1 = {s(t)}^2、dx/dt = {c(t)}' = s(t)、
なので、先へ進めて、この先の計算も、こっちの方が楽なので、本命だと思います。

ちなみに、この、c(t),s(t) は、大学では、双曲線関数と呼ばれるもので、
c(t) = cosh(t) (コサイン・ハイパボリック・t のように読みます。次も同様)、
s(t) = sinh(t)、#1さん、"2さんが、紹介していたのがこれですね。

書き方が似ているだけでなく、三角関数と似た性質が色々あり、三角関数で成り立つ公式がこっちではどうなるか、一度、色々計算してみると、勉強になります。入試でも、旧帝など、難関大学では、これらを意識した問題は、結構よく出ています。やっとくと、お得かも。

お礼

回答ありがとうございます
x=√2/cosθとおいてやるのは、
∫1/cosθdθの積分が出てきて、
この形は簡単そうで、混乱することがある形で
ちょっと自信がありませんが、・・・。
∫1/cosθdθ=log{(1+sinθ)/cosθ}となりました。

回答No.3

info22_

I=∫√(x^2-2）dx=x√(x^2-2）-∫x^2/√（x^2-2）dx

I1=∫x^2/√（x^2-2）dx=∫(x^2-2+2)/√（x^2-2）dx
=∫√（x^2-2）dx +2∫1/√（x^2-2）dx

I=x√(x^2-2）-I1=x√(x^2-2)-I-2∫1/√(x^2-2）dx
右辺のIを左辺に移項

2I=x√(x^2-2)-2∫1/√(x^2-2）dx
I=(x/2)√(x^2-2)-∫1/√(x^2-2）dx
=(x/2)√(x^2-2)-I3

I3=∫1/√(x^2-2）dx=log|x+√(x^2-2)|+C=cosh^-1(x/√2) +C
この積分I3は積分公式にあります。
参考URL
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sekibun/henkan-tex.cgi?size=3&target=/math/category/sekibun/iroirona-kansuu-no-sekibun.html
の■その他の中の最後の公式です。

t=x+√(x^2-2) または x=(√2)cosh(t) という変数変換をすれば積分できます。
ここで、cosh(t)は双曲線関数です。

回答No.2

Tacosan

大学まで行けば
x = √2 cosh t
とおく筋があるんですけどね＞#1.

お礼

回答ありがとうございます
x = √2 cosh tはx=(√2）/cos(t)のことだとしたら
なんとかなりそうな予感がします