不定積分がわかりません

質問

次の不定積分がわかりませんのでお教えください。
◎　∫[１/{(ｘ+ａ)(ｘ+ｂ)}]ｄｘ
です。
この問題は、∫{１/(ｘ+ａ)}ｄｘ－∫{１/(ｘ+ｂ)}ｄｘ
＝ｌｏｇ｜ｘ+ａ｜－ｌｏｇ｜ｘ+ｂ｜＝ｌｏｇ{(ｘ+ａ)/(ｘ+ｂ)}じゃないんでしょうか。解答は、１/(ｂ－a)ｌｏｇ{(ｘ+a)/(ｘ+ｂ)}と書いてあったのですが、どういうことでしょうか。
◎　∫[ｘ/{(ｘ+ａ)(ｘ+ｂ)}ｄｘ

これも上記と同じやり方でやったのですができませんでした。教えてください

回答No.3

nettiw · ベストアンサー

>>∫[1/{(x+a)(x+b)}]dx

　　　　　＜a≠bのとき、＞

　　　（２）の方が速いですが、

（１）　P=1/{(x+a)(x+b)}
　　　　={A/(x+a)}-{B/(x+b)}
　　　　=(Ax+Ab-Bx-Ba)/{(x+a)(x+b)}
　　　　={(A-B)x+(Ab-Ba))}/{(x+a)(x+b)}

　　　(A-B)=0....A=B
(Ab-Ba)=1....A(b-a)=1...A≠0...A=B=1/(b-a)

（２）　P=1/{(x+a)(x+b)}
　　　　={A/(x+a)}-{A/(x+b)}
　　　　=A[{1/(x+a)}}-{1/(x+b)}]
　　　　={A(b-a)}/{(x+a)(x+b)}

{A(b-a)}=1....A≠0....A={1/(b-a)}
---

　　　P=A[{1/(x+a)}}-{1/(x+b)}]
　　　　={1/(b-a)}[{1/(x+a)}}-{1/(x+b)}]
--------

∫[1/{(x+a)(x+b)}]dx
　={1/(b-a)}∫[{1/(x+a)}}-{1/(x+b)}]dx
　={1/(b-a)}[Log|x+a|-Log|x+b|]
　={1/(b-a)}[Log|(x+a)/(x+b)|]
>> =１/(ｂ－ａ)ｌｏｇ{(ｘ+ａ)/(ｘ+ｂ)}
誤植のようです。

　　　　＜a＝bのとき、＞　・・・・・。

　　　::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

>>∫[x/{(x+a)(x+b)}]dx

　　　　＜a≠bのとき、＞

Q=x/{(x+a)(x+b)}
　=x[1/{(x+a)(x+b)}]
　=x[{A/(x+a)}-{A/(x+b)}]
　=xA[{1/(x+a)}}-{1/(x+b)}]
　=x{A(b-a)}/{(x+a)(x+b)}

{A(b-a)}=1....A≠0....A={1/(b-a)}

Q=xA[{1/(x+a)}}-{1/(x+b)}]
={1/(b-a)}[{x/(x+a)}}-{x/(x+b)}]
={1/(b-a)}[{(x+a-a)/(x+a)}}-{(x+b-b)/(x+b)}]
={1/(b-a)}[{1-(a/(x+a))}-{{1-(b/(x+b))}]
={1/(b-a)}[{-a(1/(x+a))}+{b{(1/(x+b))}]
={1/(a-b)}[{(a/(x+a))}-{b{(1/(x+b))}]
={a/(a-b)}{(1/(x+a))}-{b/(a-b)}{(1/(x+b))}

∫[x/{(x+a)(x+b)}]dx
={a/(a-b)}∫{(1/(x+a))}dx-{b/(a-b)}∫{(1/(x+b))}dx
={a/(a-b)}Log|x+a|-{b/(a-b)}Log|x+b|
={1/(a-b)}[a*Log|x+a|-b*Log|x+b|]

　　　＜a=bのとき、＞

∫[x/{(x+a)^2}]dx
=∫[(x+a-a)/{(x+a)^2}]dx
=∫[(1/(x+a)]dx-a∫[1/{(x+a)^2}]dx
=Log|x+a|+[a/(x+a)]　　。

回答No.2

info22

部分分数への分解の計算が間違っています。
１/{(ｘ+ａ)(ｘ+ｂ)}≠１/(ｘ+ａ)－１/(ｘ+ｂ)　
　↑　１/(ｂ－a)の係数を忘れていませんか？
積分以前の問題です。部分分数展開を正しく計算できていません。

１/{(ｘ+ａ)(ｘ+ｂ)}＝
ｘ/{(ｘ+ａ)(ｘ+ｂ)}＝
の計算をやり直してみてください。
そうすれば正しい結果が出てきます。

質問は上記の部分分数展開式を補足に書いて質問するようにして下さい。

回答No.1

koko_u_

>この問題は、∫{１/(ｘ+ａ)}ｄｘ－∫{１/(ｘ+ｂ)}ｄｘ
惜しい(？)です。
被積分関数を再度 ∫{１/(ｘ+ａ)－１/(ｘ+ｂ)}dx として最初の式との違いを確認しましょう。