nattsさん、こんにちは。
ん？ x=tantでもいけると思いますよ。
x=tan t … (1)
とおきます。xがどんな値でも、
π/2 > t > - π/2 … (2)
の範囲で t を定義しておけば十分です。
1+x^2 = 1+tan^2 t = 1 + sin^2 t/cos^2 t = 1/cos^2 t … (3)
dx = (dx/dt)dt = dt/cos^2 t
より、(2)の範囲では cos t > 0 となることに注意しつつ、
I = ∫1/√{(1+x^2)^3} dx
= ∫1/√{1/cos^6 t} dt/cos^2 t = ∫|cos t| dt = ∫ cos t dt
= sin t + C
を得ます。ちょっとややこしく見えますが、積分が単純な三角関数の積分になるのが楽なところです。
これを再び x で書き直します。(3)より、
sin t = ±√(1-cos^2t) = ±√[1 - 1/(1+x^2)] = ±|x|/√(1+x^2)
ところで、cos t > 0 より、x=tan t = sin t/cos t の符号と、sin t の符号は一致するはずなので、複号は x と同じ符号をとり、
sin t = x/√(1+x^2)
なので、
I = x/√(1+x^2) + C
が得られます。ANo.1のお答えと一致していますね。
お礼
丁寧なご回答ありがとうございます。 助かりました！