不定積分教えてください

質問

x=tan t の置換を用いて

∫1/√{(1+x^2)^3} dx

を解く問題がわかりません。
教えてください。

回答No.2

aquarius_hiro · ベストアンサー

nattsさん、こんにちは。

ん？ x=tantでもいけると思いますよ。

x=tan t … (1)

とおきます。xがどんな値でも、

π/2 > t > - π/2 … (2)

の範囲で t を定義しておけば十分です。

1+x^2 = 1+tan^2 t = 1 + sin^2 t/cos^2 t = 1/cos^2 t … (3)
dx = (dx/dt)dt = dt/cos^2 t

より、(2)の範囲では cos t > 0 となることに注意しつつ、

I = ∫1/√{(1+x^2)^3} dx
= ∫1/√{1/cos^6 t} dt/cos^2 t = ∫|cos t| dt = ∫ cos t dt
= sin t + C

を得ます。ちょっとややこしく見えますが、積分が単純な三角関数の積分になるのが楽なところです。

これを再び x で書き直します。(3)より、

sin t = ±√(1-cos^2t) = ±√[1 - 1/(1+x^2)] = ±|x|/√(1+x^2)

ところで、cos t > 0 より、x=tan t = sin t/cos t の符号と、sin t の符号は一致するはずなので、複号は x と同じ符号をとり、

sin t = x/√(1+x^2)

なので、

I = x/√(1+x^2) + C

が得られます。ANo.1のお答えと一致していますね。

お礼

丁寧なご回答ありがとうございます。
助かりました！

回答No.1

info22

>x=tan t の置換を用いて
この置換をしても意味のないケースですね。
部分積分を使うケースです。
∫1/√{(1+x^2)^3}dx=∫(1+x^2)^(-3/2)dx
=∫{(1+x^2)-x^2}(1+x^2)^(-3/2)dx
=∫{(1+x^2)^(-1/2) -x^2/(1+x^2)^(-3/2)}dx
=∫[(x)'*(1+x^2)^(-1/2)+x*{(1+x^2)^(-1/2)}']dx
=x*(1+x^2)^(-1/2)+C
=x/√(1+x^2)+C