中学３年の数学の図形問題が分かりません

質問

娘の試験勉強を見てやっているのですが、以下の問題の解き方がどうしてもひらめきません。
どうぞお助け下さい。

問題
図は長方形ＡＢＣＤで、Ｋ、Ｌは辺ＢＣを３等分し、Ｍは辺ＤＣの中点である。次の問いに答えよ。
（１）ＡＰ：ＰＣを求めよ
（２）ＭＰ：ＰＫを求めよ

ヒントをいただけたら嬉しいです。
よろしくお願いします。

（画像が不鮮明ですみません）

回答No.1

stuff_ppo · ベストアンサー

図が無くて済みません…。

（1）
ABをそのまま下に少し延長します。
MKをK方向に延長して、（延ばした）ABと交わった点をQとします。

△QBK と △MCKは相似です。
KはBCを三等分する点でしたので、BK : KC = 1 : 2 、
したがって QB : MC = 【1】 : 【2】 です。
（紙の上では丸数字か何かで書いていただくと分かりやすいと思います。）

MはCDの中点でしたので、
MCが【2】であれば、CDは【4】、したがってABも【4】です。
ABとBQを足し合わせて、AQは【5】と分かりました。

最後に、△AQP と △MCP は相似ですので、
AP : PC = AQ : CM = 5 : 2 と分かります。

（2）
図を改めます。
今度は、Kから垂直上向きに直線を引き、ACとの交点をRとします。

また相似を使います。
△ABC と △RKC は相似で、その比は BC : KC = 3 : 2 です。
したがって、ABを＜3＞とすればRKは＜2＞ですね。
（今度は四角形の中にでも数字を書いてみてください。）

MはCDの中点でしたので、ABが＜3＞であればMCは＜1.5＞です。

最後に、△RKP と △CMP は相似ですので、
MP : PK = MC : KR = ＜1.5＞ : ＜2＞ = 3 : 4 と分かります。

　---

突然の補助線に、「こんなもん思いつけるか！」と思われるかもしれませんが、
実は、今回の補助線はひらめきではありません。

実は、比を考えるときには
（1）目的の比が移せるよう、何かに平行な線を引く
（2）目的の比が移せるような相似の図形を作る
というふたつの定石があります。

というより、
（1）平行
（2）相似
くらいでしか比をうまく移せないんですね。

ですから、「比」という文字を見た瞬間に、「平行線？！相似？！」と
考えるくらいで良いと思います。

多くの場合平行線で解決するのですが、
この問題は平行線ですとなかなかに手強くなりますので
（（2）は解けませんでした…）
次善の策である相似作戦で取り組んだらうまくいきました。

参考になりましたでしょうか。

お礼

ありがとうございます。
たった今、娘を送り出したところです。

夜遅いのにもかかわらず、お答え下さりありがとうございました。
ギリギリまで悩み続けていたのですが、ここに相談して良かったです。

実は今日が数学の試験ですので、本当に助かりました。

回答No.3

mnakauye

こんにちは、
お嬢さんの勉強をみておられるお父さんと聞いただけで、
幸せな情景が浮かび、心が晴れやかになります。

　さて、

　点Aをとおる、MKと平行な線を引き、

BCと交わる点をEとします。
　これがヒントになると思います。

　続ければ、
　三角形ABEと三角形MCKは、相似形で、
比がMC対ABなので、
BEの長さがCKの倍であることがわかります。

　そこで、三角形CPKと三角形CAEの相似を利用すれば、
CP:AP=CK：CE　から比の値がわかります。

（２）はこの結果を使って、PをとおるBCに平行な線が
DCと交わる点をFとすれば、DF:FCが　
（１）からわかるので、MB：FCがわかり、MF:FCがわかりますね。
これが、MP:PKです。

　参考になれば幸いです。

お礼

そんなほのぼのとした感じではなく、「わからんー！」ってわあわあ大騒ぎですよ。（笑）

朝、大慌てで書き込みを確認したところ、これだけの方々がお答えくださっていて大変うれしかったです。
みなさまの知識の深さに、ただただ感心させられます。

ありがとうございました。

回答No.2

Mr_Holland

文字を置いて考える方法です。

(1)　AP:PC=x:1　とおき、　四角形ABCDの面積をSとします。
　△DAC=S/2 で　AP:PC=x:1　から　△DCP={1/(x+1)}△DAC =S/{2(x+1)}　です。
　DC:MC=2:1　ですので　△PMC=(1/2)△DCP =S/{2(x+1)}　　　　・・・・・・・・・・・(A)

　同様に、△ABC=S/2 で AP:PC=x:1 から △PBC={1/(x+1)}△ABC =S/{2(x+1)} です。
　BC:KC=3:2　ですので、△PKC=(2/3)△PBC =S/{3(x+1)}　　　　・・・・・・・・・・・(B)

　ところで、△MKC=(2/3)△MBC =(2/3)*(1/2)△DBC =S/6 です。
　ここで　△MKC=△PKC+△PMC　であることを考えると、(A)(B)から
　　S/6=S/{3(x+1)}+S/{2(x+1)}
　∴x=5/2
と求められますので、　AP:PC=5:2 となります。

(2)　点Kから直線ABに平行に引いた直線と線分ACとの交点を点Rとします。
　三角形と比の定理から　QA:CA=1:3 ですので　CP:QA:PA=2:{(5+2)/3}:5 =6:7:15 です。
　従って、
　　　MP:PK=CP:PQ =CP:(PA-QA) =6:(15-7) =3:4
となります。

　この方法は補助線が思いつかないときに使えます。
　図形問題としては補助線を引く＃１さんの方法がスマートですね。

お礼

ありがとうございます。

あんなに解けなかった問題を、すらすらと解いて下さった皆さんに対して、娘が感心してました。
「この人たちナニモノ？！」（失礼な言い方ですよねぇ）
と、驚愕していました。

とても喜んで出かけて行きました。ありがとうございました。