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中学受験の図形問題、解説してください
- 中学受験の図形問題について解説します。問題では、長方形の紙片を折り曲げた図に関する問題が出題されています。具体的には、三角形の面積の比や図の大きさを求める問題です。
- 問題の解答では、三角形BPQと三角形DPFの面積の比が1：1であること、図のXの大きさが30度であること、三角形BPQと三角形DQFの面積の比が4：3であることが示されています。
- それぞれの解答について、詳しく解説していきます。まず、（１）では、三角形BPQと三角形DPFの面積の比が1：1である理由を説明します。次に、（２）では、図のXの大きさを求める方法を解説します。最後に、（３）では、三角形BPQと三角形DQFの面積の比が4：3である理由を詳しく解説します。
- ryucchiman
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No.2 ですけど、だらだら長く、わかりにくくなったので 反省して要点をまとめます 直線 BP、EF の好転を R と置くところまでは同じです （外接円とかいくつかできる二等辺三角形の中心ですので O の方がわかりやすいかも） 外接円でも二等辺三角形でも、 AR ＝ BR ＝ PR ＝ QR、底辺の両端の三角形の角度も同じ QD と EF は平行なので、 角 APR と 角 PRQ が同じことに気づくと、 三角形 APR、PQR は「正三角形」で、角度は 60度 そうしたら、直角三角形 ABP と BPQ の残りの角度 x ＝ 30度 とわかります ← （２）の答え （１）の 三角形 BPQ と 三角形 DPF の面積の比は 三角形 BPQ と 三角形 ABP が同じ形なので簡単 （３）の 三角形 BPQ と三角形 DQF の面積の比は 三角形 BPQ と 三角形 ABP は同じで 上記 正三角形の 半分と掃除で、１辺の長さが２倍、 面積が４倍 三角形 DQF は 三角形 BEQ と同じで 三角形 BEQ は正三角形の半分の大きさの面積の３倍 ですので、答えは ４：３ です ← （３）の答え
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- KEIS050162
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小学生の算数の範囲で解くとすると結構骨が折れますね。 １）は自力で解けたとのことですが、長方形全体に対するそれぞれの三角形の比を求めれば解けますね。 △BPQは、△ＢＰＡと等しいので、長方形全体の１／３の更に１／２で１／６． △ＤＰＦは、全体の２／３の半分の更に半分で、１／６． 従って面積比は１：１ ２）補助線ＡＱを引いてみます。これは、それぞれ合同な三角形ＢＰＱとＢＰＡの点Ａ，ＱからＢＰに降ろした垂線ということになりますので、ＢＰとは直角に交わります。 すると、たくさんの相似な直角三角形が出て来ます。（図に描いて確認してみてください。） 計算の過程を細かく書くとかえって分かり難いですが、直角を除く二つの角の小さい方が、大きい方で等しい角になるところにマークをしていくと、大きい角は小さい角の２倍であることが分かります。 従って、小さい方の角ｘ は３０度。 ３）は、２）の答えから、ＰＱの延長線を辺ＢＣまで延ばしてその交点をＫとすると、△ＰＢＫは正三角形であることが分かります。 また、点ＰからＢＣに垂線を降ろして、ＥＦ，ＢＣとの交点をＬ、Ｍとすれば、△ＰＬＡと△ＰＭＫは相似であり、その辺の比が１：２であることが分かります。 ＢＭはＢＣの１／３なので、Ｑは調度ＥＦの真ん中になることが分かります。 ここで、１）の要領で△ＤＱＦと長方形の比を計算します。 長方形の半分の半分の半分なので、1/8 △ＢＰＱ：△ＤＱＦ＝1/6:1/8 = 4:3 図を描いて説明すれば分かり易いのですが、ちょっとごちゃごちゃになってしまったので、自力で補助線を描いていってみてください。 相似の直角三角形と、正三角形に気がつけば、あとは比の計算だけです。
お礼
ありがとうございます。 解説して頂いた手順に従って補助線を加えて考えてみました。 よく分かりました。正三角形に気付けば、あとはどうとでもなりますね。図からして「多分正三角形？」と思いつつ、角度の出し方がわからなかったので解けずにいました。 ありがとうございました。
- shuu_01
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Q が ＥＦ の中点だってちゃんと言わないといけませんよね もう１度、書き直します ～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～ 直線 BP と EF の交点を R とおく 三角形 ABP の外接円を考えると、角 BAP が直角なので、 BP は円の直径となる 直線 BP で折り返した三角形 BPQ も合同な三角形なので、 この三角形の外接円も同じで、その半径は BR ＝ AR ＝ PR ＝ QR したがって、三角形 ABR、APR,、PQR は 二等辺三角形 となり、角 APR ＝ 角 PRA ＝ 角 RPQ ＝ 角 RQP AD と EF は平行なので、角 APR = 角 PRQ したがって、 角 APR ＝ 角 PRA ＝ 角 RPQ ＝ 角 RQP ＝角 PRQ となり、 三角形 APR、PQR は正三角形で、ひとつの角は 60度 直角三角形 ABP、BPQ の 角 APB、BPQ が 60度なので、 残りの角 ABP、PBQ ＝ x ＝ 30度 ← （２）の答え 三角形 ABP と BER は相似形で 辺の長さの比は ２：１ したがって、辺 ER は AP の 1/2 の長さ、 正三角形 APR、PQR の各辺の長さは等しいので、 RQ と AP の長さは同じ EQ の長さは ER ＋ RQ なので、 正三角形の１辺の長さの 1.5倍 辺 AD の長さは AP ＋ PD で PD が AP の ２倍なので、 AP の長さの３倍、AP と EP の長さは等しいので Q は EF の中点です 三角形 ABP、BPQ の面積は 底が正三角形と共通の AP 高さは 正三角形の２倍なので、面積は正三角形の２倍 三角形 DPF の面積は底 PD は正三角形の２倍、高さは 正三角形と同じなので、面積は正三角形の２倍 したがって、三角形 BPQ と DPF の面積はいずれも 正三角形の ２倍なので １：１ ← （１）の答え 三角形 DQF の面積は、Q が EF の中点なので、 底 QF の長さは正三角形の１辺の長さの １．５倍、 高さは正三角形と同じなので、面積は正三角形の １．５倍 したがって、三角形 BPQ と DQF の面積の比は ２：１．５ ＝ ４：３ ← （３）の答え 【解答】 （１） １：１ （２） ３０度 （３） ４：３
この問題で最も大切なのは「30度、60度、90度の直角三角形では、一番長い辺と一番短い辺の長さの比が２：１になる」ということです。これは受験生なら誰でも知っているはずです。わからなかったらお子さんと一緒に考えて下さい。知っているということにして話を進めますよ。 それと、図形の折り返しの問題では「折る前と折った後の図形は同じ」。これが非常に重要です。また、図形の問題はすべて、「わかっていることをすべて書き込む」ようにしましょう。 まず、辺AEと辺EBが１：１ですから、辺ABが２、それを折ったあとの辺BQも２です。すると三角形QBEの一番長い辺QBと一番短い辺BEの比が２：１になります。ということはこの三角形は「30度、60度、90度」の三角形なので、角Bは60度ですね。そして「折る前と折った後の図形は同じ」なので、角ABPと角QBPの角度は同じですから、角QBP,つまりXの角度は60度の半分で30度ということになります。 辺APと辺PDの長さが（１）：（２）ですね。そして、三角形ABPと三角形EBRは相似です。相似比は辺ABと辺EBの長さから２：１とわかりますから、辺ERは辺APの半分、つまり（0.5）ということになります。 また、三角形BREも「30度、60度、90度」ですから、辺RBは辺ERの２倍、つまり（１）となります。 次に、三角形RBQを見て下さい。この三角形の角RBQは30度でしたね。そして角BRQは、180度から角ERBの60度を引いて120度です。とすると角RQBは三角形の内角の和の180度から30度と120度を引いて30度です。ということは、三角形RBQは二等辺三角形だったんですね。それなら辺ＲＢと辺ＲＱの長さは同じです。辺ＲＢはさっき出したように（１）ですから、辺ＲＱも（１）です。 そして辺ＥＦは辺ＡＤと同じ（３）ですから、辺ＱＦは（３）から辺ＥＲの（0.5）と辺ＲＱの（１）を引いて（1.5）です。 これで必要な数字がすべて出ました。 ここで三角形ＢＱＰと三角形ＤＱＦの面積比を出すのですが、三角形ＢＱＰと三角形ＢＡＰは同じなので、ここでは三角形ＢＡＰと三角形ＤＱＦの面積比を出しますね。 三角形ＢＡＰの底辺ＡＰと三角形ＱＦＤの底辺ＱＦの比は（１）：（1.5）ですね。そして高さ（辺ＡＢと辺ＦＤ）の比は２：１です。だから面積の比は(１)×２と(1.5)×１で２：1.5、つまり４：３です。 以上ですがいかがでしょうか。わかりにくいところや間違っているところがありましたら補足をつけて下さいね。
お礼
ありがとうございます。 とても丁寧な解説で、順を追って理解することが出来ました。 30度60度90度の直角三角形の辺比についての知識、考えてみれば当然なのですが、定義として抜けていたので、これを機に頭に入れておこうと思います。他の問題にも使えますしね。 ありがとうございました。
- shuu_01
- ベストアンサー率55% (759/1365)
直線 BP と EF の交点を R とします 三角形 ABP は 角A が直角なので、 この三角形に外接する円は直径 BP の円であることがわかります 三角形 QBP は直線 BP を折り目にして折った三角形 ABP と 同じ形なので、三角形 QBP に外接する円も同じ円です そうすると、その円の半径 ＝ AR ＝ BR ＝ PR ＝ PQ です （小学生で三角形に外接する円とか、直角三角形の場合、 直角の対辺は直径とか習ってましたっけ？ 習ってなくても、三角形 ABR は AR ＝ BR の二等辺三角形 なので、角 ABR ＝ 角 BAR 角 ABR ＋ 角 APB ＝ 90度 角 BAR ＋ 角 PAR ＝ 90度 従って 角 APB ＝ 角 PAR なので、 三角形 APR も二等辺三角形で、AR ＝ PR 三角形 QBP は折り返しただけなので AR ＝ QR とわかります） 二等辺三角形のなので 角 PAR ＝ 角 APR ＝ 角 PQR ＝ 角 QPR です AD と EF は平行なので 角 APR ＝ 角ERB です 角 ERB = 角 PRQ ですので、角 APR ＝ 角 PRQ したがって、 角 PAR ＝ 角 APR ＝ 角 PQR ＝ 角 QPR ＝ 角 PRQ と三角形 PRQ は正三角形であり、 角 PAR ＝ 角 APR ＝ 角 PQR ＝ 角 QPR ＝ 角 PRQ ＝ 60度です 三角形 BPQ は直角三角形なので 角 QPR ＋ 角 PBQ ＝ 90度 60度 ＋ 角PBQ （角度 x） ＝ 90度 角度 x ＝ 30度 ← （２） の答え （１） 三角形 BPQ と 三角形 DPF の面積の比は 三角形 BPQ と 三角形 ABP が同じ形で同じ面積 三角形 ABP と 三角形 DPF の面積は 三角形 ABP の底辺 AP は 三角形 DPF の底辺 PD の 1/2 三角形 ABP の高さ AB は 三角形 DPF の高さ DF の 2倍なので 1/2 × 2 ＝ 1倍、つまり、同じ大きさとなり、１：１ ← （１） の答え （３） 三角形 BPQ と 三角形 DQF の面積の比は 三角形 BPQ は三角形 ABP と同じ形、 三角形 DQF は三角形 BEQ と同じ形なので、 三角形 ABP と 三角形 BEQ を比べると良いです 三角形 ABP と三角形 EBR は辺の長さ ２：１ の相似形なので、 三角形 ABP の面積は三角形 EBR の ４倍です 三角形 BEQ の面積は 三角形 EBR と 三角形 RBQ の面積の和 三角形 EBR の面積は 三角形 PRQ と底辺、高さが同じなので 面積も同じ、三角形 PRQ は前述のとおり正三角形で、 縦に割った三角形は三角形 EBR と同じ形なので、 三角形 PRQ は三角形 EBR の面積の２倍 したがって 三角形 BEQ の面積は 三角形 EBR の面積の １＋２ ＝ ３倍 三角形 ABP と 三角形 BEQ の面積の比は ４：３ 三角形 BPQ と 三角形 DQF の面積の比も ４：３ ← （３） の答え 【解答】 （１）１：１ （２）３０度 （３）４：３
- naniwacchi
- ベストアンサー率47% (942/1970)
こんばんわ。 「折り返した点Qが線分EF上にあること」がポイントですね。 (2) 辺AQの長さはどう表せますか？ (3) 三角形BPQ＝三角形ABPの面積を 2とおきます。 すると、全体（長方形ABCD）の面積を求めることができます。 三角形QCDの面積が求まれば、その半分として三角形DQFの面積がわかりますね。 全体から、まわりにある三角形を引いていくことを考えてみてください。
お礼
早々に解答頂きましてありがとうございました。 分かりました～、ヒントから解いて行くうちに色々な考え方ができることに気付きました！ありがとうございました。
お礼
まとめてこちらにお礼を書かせて頂きます。 ありがとうございました！１つ前の解説を読んだ時は、四角形と三角形の問題なのに円？と思い、ちょっと理解に苦しみましたが、こちらで細かく図解して頂き補足を読ませて頂き、よく分かりました。お蔭さまでスッキリです。 いつも本当にありがとうございます。これからもよろしくお願いいたします。