なぜ直角三角形とわかるの、図形の問題せす。

質問

次の図のように、AD∥BC,AD=3ｃｍ,BC-6ｃｍ、∠ＢＣＤ＝９０度の台形ＡＢＣＤがある。辺ＡＤ，ＣＤ
の中点をそれぞれＭ、Ｎとし、辺ＢＣの三等分点をＫ、Ｌとする。
（１）ＡＢ＝４ｃｍのとき、ＣＤの長さを求めよ：　　　　　　　（ここは理解できた。）
（２）ＡＬとＭＫの交点をＰとするとき、ＡＰ：ＡＬを求めよ：　（ここは理解できた。）
（３）ＡＬとＮＫの交点をＱとするとき、△ＡＢＬの面積は△ＱＫＬの面積の何倍になるか。
　　　ここの解説が理解できません。
添付の画像の図があり△ＤＧＭをつくると、△ＱＫＬが直角三角形であることが解ると解説があるのですがその理由がわかりませんよろしくおねがいします。

回答No.5

Tacosan · ベストアンサー

BR と AL は直交するんですが, BR と KN が平行でない (従って KN は AL と直交しない) はずなんですよ＞#4.

R を AL の中点とすると, (N が DC の中点であり, AD ∥ BC であることから) RN も AD や BC と平行です. で, RN の長さは AD と LC のちょうど中間, つまり 2.5 cm. ということは BK と RN が「平行だけど長さが違う」ので四角形BKNR は平行四辺形ではありません.

多分, その「解説」を書いた人も何かを勘違いしているんだと思います. というか, #1 に書いたけど「直角」という情報は不要なはず. A と Q から BC に垂線を下ろしてごりごり処理していけばできると思います.

お礼

やっと解りました。本当にありがとうございました。

回答No.4

chie65536（@chie65535）

＞そもそも G をどう取るか決めておかないと「△ＤＧＭと△ＥＫＦが相似である」とは言えないんじゃないでしょうか＞#2

「線分ALに並行でMを通る直線と、線分CDの延長線との交点」をGとします。

AB、BLは共に４ｃｍであるから、△ABLは二等辺三角形です。

二等辺三角形の底辺ALの中点をRとした時、線分BRは二等辺三角形の高さになるので、BRはALに垂直です。

あとは、平行線の同位角と錯角から相似関係にある三角形が判るので…。

キモは∠ENCの角度。

補足

すいませんが∠ENCの角度はどうしたら、どこと一緒なのかわかるのでしょうか。まだ∠MENが９０度
と解っていないのにどうしたら解るのでしょうか。よろしくおねがいします・

回答No.3

Tacosan

あれ? 気の迷いなのかなぁ.... よしんば AB を 4 cm と仮定しても AL と KN が直交しないような感じがするんだけど....

そもそも G をどう取るか決めておかないと「△ＤＧＭと△ＥＫＦが相似である」とは言えないんじゃないでしょうか＞#2.

回答No.2

chie65536（@chie65535）

（１）の出題の「ＡＢ＝４ｃｍのとき」と言う前提があれば、△ＤＧＭと△ＥＫＦが相似である事が導き出せ、△ＤＧＭと△ＥＫＦが相似であれば、△ＱＫＬが直角三角形であることが導けます。

もし「ＡＢ＝４ｃｍのとき」と言う前提が無い場合は、△ＱＫＬが直角三角形になると言う保証はありません。

なので、質問者さんが「（１）の出題の、ＡＢ＝４ｃｍのとき、と言う前提は、（３）の出題には何の関係もない」と思い込んでしまって「ＡＢ＝４ｃｍのとき、と言う前提を無視してしまった場合」には、（３）の解説が理解できないと思います。

「ＡＢ＝４ｃｍ」と言う前提と「ＡＢ＝４ｃｍの時のＣＤの長さ」を前提に考えてみて下さい。

回答No.1

Tacosan

何の前提もなければ一般には直角三角形にはならないし, 実際問題として「直角三角形である」という情報は不要だから見なかったことにしていいと思う.