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中学受験、図形問題を解説！
- 中学受験の算数の図形問題を解説します。
- 図形問題の解き方が分からない場合にも、小学生にも分かるように解説します。
- 問題１では正方形EFHGの一辺の長さを求める問題です。問題２では三角形AFHの面積を求める問題です。
- ryucchiman
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- 数学・算数
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まず、添付した図のように比を書き込みます。それと、AFとELの交点をMとします。 三角形DAJと三角形HALは相似です。DAとHLが平行なので、３つの角がすべて等しいからです（わかりにくかったらお子さんと一緒に考えて下さいね）。そしてDJとDAの辺の比が３：６、つまり１：２なので、LAとLHの比も１：２ですね。そしてLAは4cmですからLHは8cmということになります。 次に、三角形JBAと三角形MLAも相似ですね。これは受験生なら誰でもわかるでしょう。そしてJBとBAの比が２：６、つまり１：３なので、MLとLAの比も１：３です。そしてLAが４cmですから、MLは１と1/3cmですね。そうすると、MHの長さは、LHの8cmからMLの１と1/3cmを引いて６と2/3cmということがわかりますね。 また、三角形MLAと三角形MEFも相似です。これも受験生にはおなじみのかたちですね。とするとMEとEFの比も１：３で、EFとEHの長さは等しい(正方形の辺ですからね）のですから、NEとEHの比も１：３だということになります。 MHが６と2/3cmで、MEとEHが１：３なのですからEHは６と2/3cmの４分の３ということになりますね。計算すると５cmです。これが（１）の答えです。 ここまでくれば（２）は簡単です。三角形AFHをHMで切って二つの三角形にしましょう。すると、三角形HMAは、底辺がMH、高さがALで、いずれも長さがわかっているので面積は出せます。三角形HMFも、底辺のMHと高さのEFの長さがわかっているので面積が出ますね。これを足せばいいだけです。 というわけでこの問題は「相似をうまく使う」「わかった比を書き込んでいく」がポイントになる問題でした。いかがでしたか。わかりにくい点や間違っている点がありましたら補足をつけて下さいね。
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No.5です。3か所もミスがあり、すみませんでした。そしてNo.７さん、ありがとうございました。下書きの図を書いたときにIをＪと書いてしまい、そのまま入力してしまったのが原因です。本当に申し訳ない。
お礼
いえいえ、とんでもないです。 ありがとうございました～。
- shuu_01
- ベストアンサー率55% (759/1365)
No.5 さん、すばらしいです 僕は中学の x軸 y軸のグラフに逃げてしまいましたが、 真っ正面に取り組んでも解けちゃうのですね でも、ミスタイプが ３カ所あり、訂正します ２段落の１文目 誤：三角形DAJと三角形HALは相似です。 正：三角形DAIと三角形HALは相似です。 ２段落の３文目 誤：そしてDJとDAの辺の比が３：６ 正：そしてDIとDAの辺の比が３：６ ４段落の３文目の後半 誤：NEとEHの比も１：３だということになります。 正：MEとEHの比も１：３だということになります。 上記を訂正すると下記の文章となります： ～～～～～～～～～～～～～～～～～～ まず、添付した図のように比を書き込みます。それと、AFとELの交点をMとします。 三角形DAIと三角形HALは相似です。DAとHLが平行なので、３つの角がすべて等しいからです（わかりにくかったらお子さんと一緒に考えて下さいね）。そしてDIとDAの辺の比が３：６、つまり１：２なので、LAとLHの比も１：２ですね。そしてLAは4cmですからLHは8cmということになります。 次に、三角形JBAと三角形MLAも相似ですね。これは受験生なら誰でもわかるでしょう。そしてJBとBAの比が２：６、つまり１：３なので、MLとLAの比も１：３です。そしてLAが４cmですから、MLは１と1/3cmですね。そうすると、MHの長さは、LHの8cmからMLの１と1/3cmを引いて６と2/3cmということがわかりますね。 また、三角形MLAと三角形MEFも相似です。これも受験生にはおなじみのかたちですね。とするとMEとEFの比も１：３で、EFとEHの長さは等しい(正方形の辺ですからね）のですから、MEとEHの比も１：３だということになります。 MHが６と2/3cmで、MEとEHが１：３なのですからEHは６と2/3cmの４分の３ということになりますね。計算すると５cmです。これが（１）の答えです。 ここまでくれば（２）は簡単です。三角形AFHをHMで切って二つの三角形にしましょう。すると、三角形HMAは、底辺がMH、高さがALで、いずれも長さがわかっているので面積は出せます。三角形HMFも、底辺のMHと高さのEFの長さがわかっているので面積が出ますね。これを足せばいいだけです。 というわけでこの問題は「相似をうまく使う」「わかった比を書き込んでいく」がポイントになる問題でした。いかがでしたか。わかりにくい点や間違っている点がありましたら補足をつけて下さいね。
- shuu_01
- ベストアンサー率55% (759/1365)
No. 2 さんへ ＞ JとKはBCを3分する点なので、BC=12cm、CK=4cm。 BC の長さ 12cm はどこから導いたの？
お礼
コメントありがとうございます。 私もこの部分が理解できなくて・・・（恥）。
- shuu_01
- ベストアンサー率55% (759/1365)
小学生って、x軸 ｙ軸のグラフとか 変数（代数）とか習ってるの？ 習ってるかどうかわかんないけど、グラフの上におけば超簡単です （１）正方形ＥＦＧＨの一辺の長さは何cmですか？ A を原点、AB を x軸、AD を y軸上に置きます そうすると、直線 AI は原点を通り、傾き ２の直線ですので、 y ＝ 2x となり、その上に乗っている点 H の x座標は 4、 y座標は その 2倍の 8 となります F を 点（m, n）と置くと、 F は 直線 AJ 、原点を通り 傾き 1/3 の直線の上にあるので n ＝ 1/3 m 3 n ＝ m （※） 四角形 EFGH は正方形なので 辺 HE の長さ ＝ 辺 EF の長さですので 8 － n ＝ m － 4 （※※） （※） から （※※） を引いて、m を消すと 4 n － 8 ＝ 4 4 n ＝ 12 n ＝ 3、m ＝ 9 辺 EH の長さは 8 － 3 ＝ 5 （２）三角形ＡＦＨの面積は何cm2ですか？ 直線 HF は 点 （4, 8）を通り、傾き －1 の直線 y － 8 ＝ －1 （x － 4） y ＝ －x ＋ 12 です。その直線と x軸の交点を Ｐ とすると、 y ＝ 0 とおくと、x ＝ 12 なので （12, 0）です 三角形 ＡＦＨの面積は 三角形 AHP から 三角形 AFP の面積を 引けば求められます 三角形 AFP の面積 ＝ 1/2・12・8 ＝ 48 三角形 AFP の面積 ＝ 1/2・12・3 ＝ 18 三角形 ＡＦＨの面積 ＝ 48 － 18 ＝ 30 【答え】 （１）５cm、（２）３０cm^2
- hashioogi
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(2)だけ No.1からEL=3cm。 また、FからBCに下した垂線の足の長さも3cm。 だからHFをFの方に延長すればBと交わる。また逆に伸ばせばDと交わる。 △ABDだけを考えて計算すれば30という答えがでてくる。
お礼
ありがとうございました。 これからゆっくり考えて理解してみようと思います。
- hashioogi
- ベストアンサー率25% (102/404)
(1)だけ IはDCの中点なのでDI：DA=1：2。 ∴LA：LH=1：2。 ∴LH=8cm。 JとKはBCを3分する点なので、BC=12cm、CK=4cm。 GFの延長とABの交点をMとするとAB：BJ=AM：MF=3：1。 今、□EFGHの1辺の長さをxとするとAM：MF=(4+x)：(12-CK-x)=(4+x)：(8-x)=3：1。 ∴x=5cm。
お礼
ありがとうございます。 ＬＨ＝８cmのところまでは理解できたのですが、 以下のＢＣ＝１２cmでＣＫ＝４cmの部分が理解できなくて・・・。 申し訳ございません（恥）。
- kamikami30
- ベストアンサー率24% (812/3335)
小学生にも分かるようにというのは、小学生の教育課程にある範囲個知識しか使ってはいけないということですか？ 算数だから、数学の定理等も使えないということですかね？ とっくに小学生ではないので、小学生の感覚はわかりません。 具体的な希望をお願いします。
お礼
早々にコメント頂いたのに、お返事が遅くなりまして申し訳ないです。小学生にもわかるように～というのは、具体的には中学受験生レベルということでした・・・。言葉が足りなくて申し訳ございませんでした。
お礼
ありがとうございました。 図解までして頂き、また内容も中学受験の算数に添った解説で、とても分かりやすかったです。とても参考になりました。