数学の証明の問題について

質問

数学の証明の問題で
π/6≦x≦π/2のとき、1/x＜1/sin(x)≦2となることを証明せよというものについてです
私は、逆数にして、上記の範囲のとき1/2≦sin(x)＜xとなることを示したのですが、解き方は正しいでしょうか？
あと、ほかに何か証明方法があったら教えて欲しいです！

回答No.1

mister_moonlight · ベストアンサー

どういう解き方をしたかわからないが、3辺正から逆数をとっても問題ない。

別解として。

xy平面上に、原点Ｏを中心とした単位円を書き、Ａ(1、0)とし、単位円上の点をＰとする。
∠xＯＰ＝θとすると(π/6≦θ≦π/2)、Ｐ(cosθ、sinθ)となる。
△ＰＯＡ＜扇形ＰＯＡであるから(面積に転化する)、sinθ＜θ
又、π/6≦θ≦π/2から　1/2≦sinθ　よって、1/2≦sinθ＜θ

お礼

別解、そして丁寧な解説ありがとうございます！
わかりやすいです＾＾
このような解き方は全く浮かばなかったので、勉強になります
ありがとうございました！

回答No.2

Mr_Holland

＞私は、逆数にして、上記の範囲のとき1/2≦sin(x)＜xとなることを示したのですが、解き方は正しいでしょうか？

　与えられた範囲で　1/x,1/sin(x),2 のすべてが正ですので　逆数にするのが正しい解き方です。
　そして　最も簡潔な解法でしょう。

＞あと、ほかに何か証明方法があったら教えて欲しいです！

　他には、微分を使う方法、テイラー展開を使う方法　などが考えられますが、いずれも上記の解法より煩雑になります。

お礼

回答ありがとうございます！
いまいち自信がなかったのでよかったです
ありがとうございましたー！