数学の証明問題です。

質問

sinx>2x/π　(0<x<π/2)これを証明したいのですが、証明方法が分かりません。グラフを書いて証明すればいいのですか？

回答No.3

mmk2000 · ベストアンサー

グラフだけだと心もとないですね。
f(x)=sin(x)-2x/π
とおくと、0<x<π/2より、0<cos(x)<1
f'(x)=cos(x)-2/π=0
とすると、cos(x)=2/π
これを満たすxをαとする(0<α<π/2)と
0<x<αのときf'(x)>0
α<x<π/2のときf'(x)<0
（具体的に増減表を書くと分かりやすいです）
f(0)=0
f(π/2)=0
よってy=f(x)は0<x<π/2で常に正だから
f(x)>0
sin(x)-2x/π>0
よってsin(x)>2x/π

お礼

丁寧な回答ありがとうございました。とても分かりやすく、ちゃんと理解して問題が解けました。

回答No.2

noname#56760

f(x)=sinx-2x/π (0<x<π/2)
のグラフをかいてみましょう

お礼

回答ありがとうございました！

回答No.1

skikujp

グラフですね。
微分して、グラフを描けば
常にsinx- 2x/π >0
がわかりますよ。

お礼

教えていただきありがとうございました！