位相数学の証明問題について質問です。

質問

位相数学の証明問題について質問です。

以下のXとYが同相でないことを証明したいのですが，なかなかうまくいきません。
X = { ( x , y ) ∈ R^2 | x^2 + y^2 < 1}
Y = { ( x , y ) ∈ R^2 | x^2 + y^2 < 1 , y ≧ 0}

どなたか位相数学に詳しい方ご教授お願いします。

なるべく細かくお教えいただけると幸いです。
よろしくお願いします。

回答No.5

muturajcp

X={(x,y)∈R^2|x^2+y^2<1}
Y={(x,y)∈R^2|x^2+y^2<1,y≧0}
f:X→Y
同相と仮定する
f(a)=O=(0,0),a∈X とすると
∃ε>0( U={z∈R^2||z-a|<ε}⊂cl(U)⊂X )
S=cl(U)-U={z∈R^2||z-a|=ε}
r:X-{a}→S,r(z)=a+ε(z-a)/|z-a|とすると
rは連続だが{a}への連続拡張写像は無い
∃δ>0( V={z∈Y||z|<δ}⊂cl(V)⊂f(U) )
g:Y-V→S, g(z)=r(f^{-1}(z))
h:Y→S, z∈Y-V→h(z)=g(z)
z=(x,y)∈V→h(z)=g(x,√(δ^2-x^2))
とすると
hは連続だから
gはY-VからYへ連続拡張できるが
rはf^{-1}(Y-V)からXへ連続拡張できないから
fは同相でない

回答No.4

muturajcp

YのR^2に対する境界点はありますが、
YのYに対する境界点はありません。
境界点の有無だけからは同相でないとはいえないのではないでしょうか?

回答No.3

alice_44

＞ 実はどこから手をつければ良いか全くわからない状態です。

X と Y が、それぞれ境界点を持つかどうかを考えることから
手をつけてください。境界点って一体何者だか解らなければ、
教科書に戻って定義を確認するところから！ 結論を言えば、
Y は境界点を持ち、X は全て内点で、境界点を持ちません。
Y の境界点を具体的に挙げ、それが境界点であることと
X が全て内点であることを証明すれば、X と Y は同相でない
ことの証明が完成します。

回答No.2

Tacosan

「うまくいかない」というときに, 「自分ではこう考えてこんな風にやってみたんだけどここがなんか怪しい」と書けるといいな.
Y の x軸上の点を考える?

補足

ご回答ありがとうございます。
「うまくいかない」と書きましたが，
実はどこから手をつければ良いか全くわからない状態です。
位相数学については勉強を始めたばかりで，まだあまり理解できておらず，
この問題については単純に「解答」が知りたい状況です。
ですので，
大変おこがましいのですが，もしよろしければ，「解答」をお教えくださると幸いです。
よろしくお願いいたします。

回答No.1

alice_44

同相であれば起こり得ないような
X と Y の特徴の違いを示せばよいですね。
境界点の有無なんか、どうですか？
自分で一度やってみて、補足へどうぞ！

補足

ご回答ありがとうございます。
「うまくいかない」と書きましたが，
実はどこから手をつければ良いか全くわからない状態です。
位相数学については勉強を始めたばかりで，まだあまり理解できておらず，
この問題については単純に「解答」が知りたい状況です。
ですので，
大変おこがましいのですが，もしよろしければ，「解答」をお教えくださると幸いです。
よろしくお願いいたします。