大学数学の証明問題です。

質問

大学数学の証明問題です。

(1)f,g ∈C(R)で任意のx∈Q（有理数）に対して、f(x)=g(x)⇒f(x)≡g(x)を示せ
(2)X⊂R（実数）に対して、∃maxX⇒maxX=supX

よろしくお願いします。

回答No.1

Anti-Giants · ベストアンサー

(1)
有理数の稠密性より、xに収束する有理数の列{qx(n)}がある
条件より、f(qx(n)) = g(qx(n))
連続性よりf(qx(n)) → f(x)、g(qx(n)) →g(x)
f(x) = lim f(qx(n)) = lim g(qx(n)) = g(x)

(2)
最大値の定義より、すべてのxに対してx ≦ y = max{X}となるy?Xが存在する
yはXの上界
あるz?Rに対して、もしz<yならば、zはXの上界ではない
つまり、yは上界の最小値
上限の定義「上界の最小があれば、それを上限とよぶ」よりy = sup{X}

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