大学の数学についての証明問題なのですが

質問

大学の数学についての証明問題なのですが

f`(ｘ)ｇ(ｘ)＝ｆ(ｘ)ｇ`(ｘ)・・・(1)ならば、ｆ(ｘ)＝Kg(ｘ)・・・(2)　ただしｋは定数

の形であらわすことができることを証明せよ。ただし、少なくとも一方は恒等的に０ではない

(1)の式に(2)と(2)の両辺を微分したものを代入してみたら(1)が成り立つことは何となく理解できたのですが、うまく文章であらわせません。
よろしければ教えてくれませんか、よろしくお願いします。

回答No.7

Ginzang · ベストアンサー

No.6の回答は、通常の感覚から言えばごもっともである。
しかし、数学の本ではたまに、例えば、
f(x) = K g(x)、または g(x) = K f(x)
と書くべきものを、どうせKを移項しただけで一緒だろうと思って（違う！）、単に
f(x) = K g(x)
と書くような手のものがある。

それでも全体として意味のあるような解釈ができるなら、それでもいいか、と私は思う。

とりあえず、No.4の「f(x) ≠ 0 であるような範囲で・・・（中略）・・・ g(x) ≠ 0 であることも判る」は反証されたことになる。
「少なくとも一方は恒等的に０ではない」だけで、証明には十分なのである。

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.8

alice_44

あ、ほんとだ。
引っ掛けに、恐らく出題意図どおりに
引っ掛かった。
No.3 No.4 がどこでミスったのか
を考えてみるのは、よい演習になると思う。
完敗。

お礼

ありがとうございます。参考にさせていただきます

回答No.6

Tacosan

あ....
#4 を読んで気付いたんだけど, これ問題がおかしい.
f(x) = x, g(x) = 0 のときに (1) は成り立つけど (2) が成り立たない.

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.5

naniwacchi

こんばんわ。

＞(1)の式に(2)と(2)の両辺を微分したものを代入してみたら
これは逆の証明ですね。

「少なくとも一方は恒等的に０ではない」ということですから、
・どちらか一方が恒等的に０だったら？
・そして、両方とも恒等的に０でなかったら？

って考えてみてください。
簡単な微分方程式を解いてる感じ・・・ですよ。＾＾

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.4

alice_44

(1) は、f, g について対称だから、
f(x) のほうが「恒等的に０ではない」としても一般性を損なわない。

このとき、f(x) ≠ 0 であるような範囲で (1) を変形して、
f '(x) / f(x) = g '(x) / g(x).　　…(3)
同じ x の範囲で g(x) ≠ 0 であることも判る。

(3) を不定積分して、
log| f(x) | = log| g(x) | + (積分定数).
この式を整理して、
log| f(x) | - log| g(x) | = (積分定数).
log| f(x) / g(x) | = (積分定数).
| f(x) / g(x) | = exp(積分定数).

±exp(積分定数) のどちらかを適切に K と置けば、
(2) が導かれる。

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.3

Ginzang

他の方も仰るように、質問者の解答の方針は間違っている。
示すべきなのは、質問者がやっているような「(2)ならば(1)となること」ではなく、「(1)ならば(2)となること」である。

それを理解した上で読み進めて欲しいが、証明は次のようになる。

g(x)が恒等的に0ではないと仮定して、(1)より、
f'(x)g(x) - f(x)g'(x) = 0
よって、
{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)} / {g(x)}^2 = 0
この両辺を積分し（商の微分法の逆）、
f(x) / g(x) = k (= 積分定数)
これは(2)と同じである。Q.E.D.

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.2

Tacosan

あなたが「理解した」のは「(2) ならば (1)」です. つまり, 方向が逆. そして, その方向では「少なくとも一方は恒等的に 0 ではない」という条件も不要.
で, この条件がどうして必要なのかと考えると, 方針が見えるかもしれません. 要するに「割り算がしたい」んです.

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.1

koko_u_u

f や g に対する前提条件がまったく述べられていませんが？

>(1)の式に(2)と(2)の両辺を微分したものを代入してみたら(1)が成り立つことは
>何となく理解できたのですが、うまく文章であらわせません。

そっちは自明だからいいんです。逆を示せ。という意図ですよ。

お礼

回答ありがとうございます。