与式は全ての次数xについては成り立ちません。
0<x<2πという条件を書き忘れていませんか？
xに0<x<2πという範囲の条件か付け加われば
与式は成立します。
以下証明です。
f(x)を0≦x<2πで
f(x)=(π-x)/2 (0<x<2π), =π/2(x=0)
と定義し、その他のxでは
f(x-2kπ)=f(x) (kは整数、0,±1,±2,…)
で定義したとき、周期関数f(x)（周期T=2π）のフーリエ級数展開g(x)が
g(x)=sinx + (sin2x)/2 + (sin3x)/3 + •••
となります。
f(x)がg(x)と一致する範囲は
0<x<2π
の範囲です。
関数f(x)はx=2kπ (kは整数、0,±1,±2,…)で不連続ですから
g(2kπ)はf(x)と一致しません。
したがって与式が成立するのは0＜ｘ＜２πの範囲です。
この範囲で与式が成立することを示すには、与式の左辺の級数の各項の係数が
f(x)のフーリエ展開係数{a0,an,bn)(nは全ての自然数)と一致することを示せば良いでしょう。
計算すれば、f(x)は奇関数なのでa0=an=0(nは全ての自然数)であり
bn=(2/2π)∫[0,2π]f(x)sin(nx)dx=(1/π)∫[0,2π] ((π-x)/2)sin(nx)dx
=(1/2)∫[0,2π] sin(nx)dx-(1/2π)∫[0,2π] x sin(nx)dx
=(1/2)[(-1/n)cos(nx)][0,2π]
-(1/2π){[x(-1/n)cos(nx)][0,2π]+(1/n)∫[0,2π] cos(nx)dx}
=0+(1/n)-0
=1/n(n≧1)
∴g(x)=Σ(n=1,∞) (1/n)sin(nx)
これは0<x<2πの範囲で与式の左辺と一致する。
（証明終わり）
