定積分値を教えてください。

質問

べき関数の定積分値を教えてください。Xのa乗の定積分値、aは０未満の負の実数、積分範囲はXが+1～＋∞です。

回答No.1

Mr_Holland

a<0 のときの　∫[x=1→∞] x^a dx　の値ですね。

　aの値によって場合分けされます。

(1) -1<a<0 のとき
　　∫[x=1→∞] x^a dx =[x^(a+1)/(a+1)][x=1→∞] =1/(a+1) lim[x→∞] {x^(a+1)-1}=∞　　　　（∵a+1>0　）

(2) a=-1 のとき
　　∫[x=1→∞] x^a dx =∫[x=1→∞] 1/x dx =[log|x|][x=1→∞]=∞

(3) a<-1 のとき
　　∫[x=1→∞] x^a dx =[x^(a+1)/(a+1)][x=1→∞] =1/(a+1) lim[x→∞] {x^(a+1)-1}=-1/(a+1)　　　　（∵a+1<0　）

　以上をまとめると次のようになります。
　　-1≦a<0 のとき　∞
　　a<-1 のとき　　-1/(a+1)