積分の問題です

質問

積分の問題です。

f(x)=x^2-4x+5とする。 aを実数とし、 a≦x≦a+1での関数f(x)の最小値をm(a)とする
１、m(a)をaであらわせ
２、C:y=f(x)とx=a,x=a+1,y=m(a)-1で囲まれた面積をS(a)とする。 aがすべての実数を動くとき、S(a)の最小値を求めよ

この問題の２の解き方が分かりません。具体的にはどのように場合わけすればいいのかがわかりません。
ちなみに2のこたえはa=3/2のとき最小値13/12です

回答No.1

townportal

2はつまり、S(a)=∫[a→a+1] f(a)-(m(a)-1) dx の最小値を求める問題で
この式のm(a)は1の結果のように変化しますので、1と同じ用に場合分けする必要があります。
つまり、a＜1, 1≦a≦2, 2＜a　での場合分けです。
これら3通りのS(a)の最小値を比較して、最も小さいものが当然答えになります。
この問題はf(x) の頂点が(2,1)と比較的分かりやすいため
ある程度の図を描く力と、頭の中で線を推移させることになれていれば
S(a)が最小になるaは1≦a≦2の区間だと看破できます。
時間があるならすべて試してもいいですが、このレベルですとある程度あたりをつけることが望ましいですね。
ちなみに1≦a≦2の場合、m(a)=1なので
S(a)=∫[a→a+1] f(a)-(m(a)-1) dx
　　=∫[a→a+1] x^2-4x+5 dx
=a^2-3a+10/3
となりS(a)は3/2でmin13/12を取ることが分かります。