広義積分

質問

a,bは、a<bを満たす実数とし、
　　f(x)=1/{(|x-a|^p)(|x-b|^q)}
としたとき、広義積分
　　∫[-∞,∞] f(x)dx
が収束するような実数p,qの範囲を求めよという問題なのですが、
方針がまったく見えません。一応ヒントとして、x=a,b,±∞の付近での
f(x)の振る舞いを調べよとあるのですが、そこからどういう条件が得られる
のかよくわかりません。どうやって考えていけばよいのでしょうか？
どなたかお力添えをお願いします。よろしくお願いします。

回答No.4

reiman

1),2),3),4)から収束するための条件はどうなる？
質問の解答が分かったら締め切ってください。

お礼

ご回答ありがとうございます。
ご丁寧に説明していただき、大変助かりました。
本当にありがとうございました。

回答No.3

reiman

a,bの場合分けではない。
f(x)の積分範囲を決めているだけ

1)|a|<r & |b|<r　のとき
∫[r,∞]1/|x-a|^(p+q)dx<|∫[r,∞]f(x)dx|<∫[r,∞]1/|x-b|^(p+q)dx
p+q=1ならば
∫[r,∞]1/|x-a|^(p+q)dx=log(∞-a)-log(r-a)=∞
p+q<1ならば
∫[r,∞]1/|x-a|^(p+q)dx=(1-p-q)(∞-a)^(1-p-q)-(1-p-q)(r-a)^(1-p-q)=∞
1<p+qならば
∫[r,∞]1/|x-b|^(p+q)dx=(1-p-q)(∞-b)^(1-p-q)-(1-p-q)(r-b)^(1-p-q)=(p+q-1)/(r-b)^(p+q-1)

これにより[r,∞)でのf(x)の積分はp+q≦1で無限大に発散し1<p+qで収束することが分かる。

同様にして
2)r<-|a| & r<-|b|　のとき
3)0<|x-a|<(b-a)/2　のとき
4)0<|x-b|<(b-a)/2　のとき
の場合を自分でやってみてその過程と結果を補則に書いてください。

お礼

大変遅くなりましたが、ご回答ありがとうございます。
補足の方は長くなり大変読みづらいかと思いますが、
一読していただければ幸いです。よろしくお願いします。

補足

遅くなりましたが、補足です。
2)r<-|a| & r<-|b|　のとき
∫[-∞,r]1/|x-a|^(p+q)dx<|∫[-∞,r]f(x)dx|<∫[-∞,r]1/|x-b|^(p+q)dx
p+q=1ならば
∫[-∞,r]1/|x-a|^(p+q)dx=log|r-a|-log|-∞-a|=∞
p+q<1ならば
∫[-∞,r]/|x-a|^(p+q)dx=(1-p-q)|r-a|^(1-p-q)-(1-p-q)|-∞-a|^(1-p-q)=∞
1<p+qならば
∫[-∞,r]1/|x-b|^(p+q)dx=(1-p-q)|r-b|^(1-p-q)-(1-p-q)|-∞-b|^(1-p-q)
=(p+q-1)/|r-b|^(p+q-1)

3)0<|x-a|<(b-a)/2　のとき
1/{(|x-a|^p)(|2(a-b)|^q)}<|f(x)|<1/{(|x-a|^p)(|(a-b)/2|^q)}
p=1ならば
∫[(a-b)/2,a]1/{(|x-a|^p)(|(a-b)/2|^q)}dx
=(|(a-b)/2|^q){log|a-a|-log|(-b-a)/2|}=∞
p>1ならば
∫[(a-b)/2,a]1/{(|x-a|^p)(|(a-b)/2|^q)}dx
=(|(a-b)/2|^q){(1-p)(a-a)^(1-p)-(1-p)((-b-a)/2)^(1-p)}=∞
p<1ならば
∫[(a-b)/2,a]1/{(|x-a|^p)(|(a-b)/2|^q)}dx
=(|(a-b)/2|^q){(1-p)(a-a)^(1-p)-(1-p)((-b-a)/2)^(1-p)}
=(|(a-b)/2|^q)(p-1)((-b-a)/2)^(1-p)

4)0<|x-b|<(b-a)/2　のとき
　1/{(|x-b|^p)(|2(a-b)|^q)}<|f(x)|<1/{(|x-b|^p)(|(a-b)/2|^q)}
q=1ならば
∫[(a-b)/2,b]1/{(|x-b|)(|(a-b)/2|)}dx
=(|(a-b)/2|){log|b-b|-log|(a-3b)/2|}=∞
q>1ならば
∫[(a-b)/2,b]1/{(|x-b|^q)(|(a-b)/2|^p)}dx
=(|(a-b)/2|^p){(1-q)(b-b)^(1-q)-(1-q)((a-3b)/2)^(1-q)}=∞
q<1ならば
∫[(a-b)/2,b]1/{(|x-b|^q)(|(a-b)/2|^p)}dx
=(|(a-b)/2|^p){(1-q)(b-b)^(1-q)-(1-q)((a-3b)/2)^(1-q)}
=(|(a-b)/2|^p)(q-1)((a-3b)/2)^(1-q)

以上ですよろしくお願いします。

回答No.2

reiman

コピー＆ペースとのケアレスミス

1)|a|<r & |b|<r
∫[r,∞]1/|x-a|^(p+q)dx<|∫[r,∞]f(x)dx|<∫[r,∞]1/|x-b|^(p+q)dx

2)r<-|a|<r & r<-|b|
∫[-∞,r]1/|x-b|^(p+q)dx<|∫[-∞,r]f(x)dx|<∫[-∞,r]1/|x-a|^(p+q)dx

3)0<|x-a|<(b-a)/2
1/{(|x-a|^p)(|2(a-b)|^q)}<|f(x)|<1/{(|x-a|^p)(|(a-b)/2|^q)}

4)0<|x-b|<(b-a)/2
1/{(|x-b|^q)(|2(a-b)|^p)}<|f(x)|<1/{(|x-b|^q)(|(a-b)/2|^p)}

お礼

ご回答ありがとうございます。
これは、収束する場合のa,bに関する場合わけなのでしょうか？
すみませんが、よろしくお願いします。

回答No.1

reiman

1<p+q & p<1 & q<1

1)|a|<r & |b|<r
∫[r,∞]1/|x-a|^(p+q)dx<|∫[r,∞]f(x)dx|<∫[r,∞]1/|x-b|^(p+q)dx

2)r<-|a|<r & r<-|b|
∫[-∞,r]1/|x-b|^(p+q)dx<|∫[-∞,r]f(x)dx|<∫[-∞,r]1/|x-a|^(p+q)dx

3)0<|x-a|<(b-a)/2
1/{(|x-a|^p)(|2(a-b)|^q)}<|f(x)|<1/{(|x-a|^p)(|(a-b)/2|^q)}

4)0<|x-b|<(b-a)/2
1/{(|x-b|^p)(|2(a-b)|^q)}<|f(x)|<1/{(|x-b|^p)(|(a-b)/2|^q)}