積分計算

質問

D=(-∞,∞)上で定義される非負な関数f(x)が
a)∫[-∞,∞]f(x)dx=1
b)∫[-∞,∞]x・f(x)dx=0
c)∫[-∞,∞](x^4)・f(x)dx<∞
を満たすとする。
k=2,3のとき-∞<∫[-∞,∞](x^k)・f(x)dx<∞を満たすことを示せ。

という問題なのですが、全然うまくできません。部分積分なのかな・・・？とか思ったのですがうまくできません。ヒントや方針だけで結構ですので教えていただけませんでしょうか？

回答No.2

Tacosan · ベストアンサー

いや～, 実際問題として x^3 の方が「考えなければならないこと」が多いんですよ.... だから「簡単な方」の x^2 で逃げた, ってことでもありますが.
ともあれ x^3 について考えると
・まず -1 ≦ x ≦ 1 については x^3 ≦ 1 なので
∫[-1, 1] x^3 f(x) dx ≦ ∫[-1, 1] f(x) dx ≦ ∫[-∞, ∞] f(x) dx = 1.
・次に x > 1 では x^3 < x^4 より
∫[1, ∞] x^3 f(x) dx ≦ ∫[1, ∞] x^4 f(x) dx ≦ ∫[-∞, ∞] x^4 f(x) dx < ∞.
・最後に x < -1 では -x^3 < x^4 なので
∫[-∞, -1] (-x^3) f(x) dx ≦ ∫[-∞, -1] x^4 f(x) dx < ∞, つまり ∫[-∞, -1] x^3 f(x) dx > -∞.
結局, これら 3つの積分は被積分関数の符号を含めて考えると
0 ≦ ∫[-1, 1] x^3 f(x) dx ≦ 1
0 ≦ ∫[1, ∞] x^3 f(x) dx < ∞
-∞ < ∫[-∞, -1] x^3 f(x) dx ≦ 0
となり, この 3つを全て加えると示したい不等式が得られます.

お礼

ありがとうございます。
方針としては正しかったのか・・・なんで思いつかないんだろう・・・

回答No.1

Tacosan

積分範囲を |x| ≦ 1 と |x| > 1 にわけて考えるだけのような気がする....
簡単な k=2 の方だけやると |x| ≦ 1 なら x^2 ≦ 1, |x| > 1 なら x^2 ≦ x^4. だから
∫[-∞, ∞] x^2 f(x) dx = ∫[|x| ≦ 1] x^2 f(x) dx + ∫[|x| > 1] x^2 f(x) dx ≦ ∫[|x| ≦ 1] f(x) dx + ∫[|x| > 1] x^4 f(x) < 1 + ∞
なので
∫[-∞, ∞] x^2 f(x) dx < ∞.

お礼

なるほどありがとうございます。
ただx^3のほうがわからない・・・。
|x|≦1,x>1,x<-1で分けて下からと上からそれぞれ押さえるんだろうと思って考えてみたのですがうまくいかないです。