積分の問題

質問

http://www.i.u-tokyo.ac.jp/edu/entra/pdf/archive/09math-j.pdf
の第2問の(5)についてなのですが、
最初にθ0を切ってからθ1を越えるまでのxの関数をx_up(t)
θ1を越えてからθ0を切るまでのxの関数をx_down(t)
とし、θバーを~θと表すと、
f(x,~θ)=x_down^(-1)(x)-x_up^(-1)(x)-(τ*~θ)/(θ1-θ0)

というところまでは、求まっているのですが、これを単純にθ0～θ1の範囲で積分して、θ0とθ1をωと~θで置き換えて、ωで微分して常に負になることから、単調減少を示そうとしてみたのですが、どうもうまくいきそうにありません。

何か良い方法があるなら教えて欲しいです。
宜しくお願いします。

回答No.3

PRFRD · ベストアンサー

問(3) の τ は，質問者さんの回答で合っていますが，
　τ = log[θ1/(1-θ1)] - log[θ0/(1-θ0)]
とするのが，問(4) に繋がる書き方です．

問(4) は，No.2 にあるように，x が微分方程式で定義されていることを使えば
　τ ~x = ∫x(t) dt = log[(1-θ0)/(1-θ1)] = ∫[θ0,θ1] 1/(1-x) dx
が簡単に計算でき，問(3) の解をじっと睨むと
　τ ~θ = ~θ ∫[θ0,θ1] [ 1/x - 1/(1-x) ] dx
がわかるので，足して整理して
　τ(~x - ~θ) = ∫[θ0,θ1] f(x,~θ) dx
となります．ただし
　f(x,~θ) = 1/(1-x) - ~θ[1/x - 1/(1-x)]
です．

問(5) は w で微分して負になることを示す方針でOKです．
　τ(~x - ~θ) = ∫[~θ-w,~θ+w] f(x,~θ) dx
の両辺を w で微分すると，やはり No.2 にあるように積分の微分であることを使えば
　d(左辺)/dw = 2 { [(1-~θ)/((1-~θ)^2 - w^2)] - [~θ/(~θ^2 - w^2)] }
が簡単に計算できます．ここで右辺は g(x) = 2x/(x^2 - w^2) について
　g(1-~θ) - g(~θ)
という形になっており，1-~θ > ~θ が ~θ < 1/2 から従うので
g(x) が単調減少することさえ示せば十分で，
これは g(x) = 1/(x-w) + 1/(x+w) と単調減少関数の和で書けていることから分かります．

お礼

何とか解ききることが出来ました。
皆さんどうも有り難うございました。

回答No.4

PRFRD

No.3にいくつか誤記があったので訂正します．方針は変更なしです．
やっぱり，タイプしながら計算してるとダメですねえ．

問(4)解答中
　τ ~θ = ∫[θ0,θ1] [1/x + 1/(1-x)] dx　　← 符号を - から + に訂正．
　f(x,~θ) = (1-~θ)/(1-x) - ~θ/x　← 上に伴い訂正．見易さのため括弧で括った．
問(5)解答中
　d(左辺)/dw = 2w { [(1-~θ)/((1-~θ)^2 - w^2)] - [~θ/(~θ^2 - w^2)] }　← w 追加．

回答No.2

rnakamra

#1のものです。
ご返事を確認しました。
何かあなたのしている解答おかしいです。
(8)の導出が何か気になる。

(8)の導出は
τ(~x-~θ)=∫[t:t1→t1+τ]{x(t)-~θ}dt
=∫[t:t1→t1+t2]{x(t)-~θ}dt＋∫[t:t2→t3]{x(t)-~θ}dt
としてから、x=x(t)と変数変換します。dx=x'(t)dtであるのでそれを代入。(一応言っておきますと、このxは単なる変数変換で置き換えた変数であり、ぶっちゃけ記号など何でもよい。xとしたのはx=x(t)と変換すればよいですよというヒントに過ぎない)
x(t)は指数関数ですので、うまく式変形すれば逆関数など使わずにxの式に変形できると思います。

補足として、最後にwで微分する前に積分を行っていますが、基本的に労力がかかるだけです。
積分したものを微分するのだからその原始関数をF(x)とすると、
d/dw{F(~θ+w)-F(~θ-w)}=f(~θ+w)+f(~θ-w)
となりますので、単なる代入になります。つまり積分をする必要はありません。(陽にwを含む項がある場合は通用しないためその項だけ分けること)

回答No.1

rnakamra

f(x,~θ)の関数形をきちんと出してください。
それでないと答えようがありません。

私があなたの提示した式を元に計算すると全く逆の結論が出てしまいました。
私の計算ミスかも知れないので確認を含めご提示願います。

私の計算方法としては、単純に微分をしてその符号を調べました。
対数が出てくるのでそれを一つにまとめ真数<1を示そうとしました。
微分の計算自体はたいしたことありません。積分をする必要のある部分は被積分関数がw依存性を持つところのみで、しかもその部分は最終的に微分すると0になるために関係ありませんでした。

真数<1を示すために、いろいろな関係式を使います。
x_down(t)とx_up(t)の積分定数の関係式やw<~θ,~θ+w<1の関係を使いましたが結論が全く逆になりました。
もしかすると私の計算が間違っているかもしれませんし、その前提となるあなたのf(x,~θ)自体が間違っているかも知れません。
一度f()の具体的な表式提示をお願いします。

お礼

私が計算した式の結果を示します。

一回目のθ1を越えた時刻をt2とすると
x_up(t)=(θ0-1)e^(t1-t)+1　　　　　　　　　　　　　(1)
x_down(t)=θ1e^(t2-t)　　　　　　　　　　　　　　　(2)

t2=ln|(θ0-1)/(θ1-1)|+t1　　　　　　　　　　　　　(3)

2度目のθ0を切る時刻をt3とすると、
t3=ln|θ1/θ0|+t2　　　　　　　　　　　　　　　　　(4)

τ=t3-t1
　=ln|θ1/θ0|+ln|(θ0-1)/(θ1-1)|
　=ln|(θ1/θ0)*((θ0-1)/(θ1-1))|　　　　　　　　　(5)

x_up^(-1)(x)=ln|(θ0-1)/(x-1)|+t1　　　　　　　　　　(6)
x_down^(-1)(x)=ln|θ1/x|+t2　　　　　　　　　　　　　(7)

f(x,~θ)=x_down^(-1)(x)-x_up^(-1)(x)-(τ*~θ)/(θ1-θ0)
　　　　=ln|(θ0-1)/(x-1)|-ln|θ1/x|-(t2-t1)-(τ*~θ)/(θ1-θ0)
　式(3)より
　　　　=ln|(θ0-1)/(x-1)|-ln|θ1/x|-ln|(θ0-1)/(θ1-1)|-(τ*~θ)/(θ1-θ0)　　　　(8)

α(θ0,θ1)=ln|(θ0-1)/θ1|-ln|(θ0-1)/(θ1-1)|-(τ*~θ)/(θ1-θ0)　　　　　　　　　　(9)
とすると、
(~x-~θ)τ=∫{θ0～θ1}f(x,~θ)dx
　　　　　=∫{θ0～θ1}(ln|x|-ln|x-1|+α)dx
　　　　　=[xln|x|-x-(x-1)ln|x-1|-(x-1)+αx]{θ0～θ1}
　　　　　=[xln|x|-(x-1)ln|x-1|+(α-2)*x+1]{θ0～θ1}
　　　　　=θ1ln|θ1|-θ0ln|θ0|-((θ1-1)ln|θ1-1|-(θ0-1)ln|θ0-1|)+(α-2)*(θ1-θ0)　　　　　　(10)

ここで、
ω=(θ1-θ0)/2　　　　　　　　　　　　　　　(11)
~θ=(θ1+θ0)/2　　　　　　　　　　　　　　(12)
より、
θ0=~θ-ω　　　　　　　　　　　　　　　　(13)
θ1=~θ+ω　　　　　　　　　　　　　　　　(14)

この式(13)と式(14)を式(10)に代入して、ωで微分しようとしたところ、式がぐちゃぐちゃになって

宜しくお願いします。