積分が出来ません！どうやるんだっけ？

質問

積分が出来ません．
∫(a/x - 1)dx 　　・・・積分の範囲は0からaまでです．

どうやって積分するんでしたっけ？
教えて下さい．よろしくお願いします．

回答No.5

info22 · ベストアンサー

#2です。
訂正です。
>∫[0,a] a/(x-1) dx
>(0<a<1)であれば
> =a*ln(1-a)+C
定積分なので積分定数Cは不要でした。

=a*ln(1-a)
( ln()は自然対数です）

回答No.4

alice_38

先の回答では、発散してしまうので、
やや不自然な括弧の付け方ですが、
∫(a/(x-1))dx という解釈も試みましょう。

前回と同様、∫dz/z が
z=0 を跨ぐ区間で積分できないことから、
0-1 と a-1 が異符号、すなわち a＞1 のとき、
この積分は、発散。
a＜1 のときは、0-1 と a-1 が同符号ですから、
= [ a log｜x-1｜] (x=a と x=0 の値の差)
= a log(1-a)
になります。
定積分ですから、積分定数は要りません。

回答No.3

alice_38

被積分関数は、 (a/x)-1 で宜しいでしょうか？
スペースの入れ方からは、そう見えます。

だとすると、まず、
被積分関数に x=0 が代入できない
ことに注目しましょう。
従って、質問の積分は、広義積分
lim[b→0] ∫[b から a まで] ((a/x)-1)dx
の意味になります。
この式の lim は、a＞0 のとき b→+0、
a＜0 のとき b→-0 の片側極限です。
∫[b から a まで] ((a/x)-1)dx は、
a と b が同符号のとき、
[ a log｜x｜ - x ] (x=a と x=b の値の差)
ですから、a≠0 のとき b→0 で発散します。
log(0) が、出て来ますからね。

回答No.2

info22

∫[0,a] (a/x)-1 dx (a>0)であれば積分は発散。

∫[0,a] a/(x-1) dx
(0<a<1)であれば
=a*ln(1-a)+C

(a≧1)であれば
積分は発散。

回答No.1

noname#107596

∫(1/x)dx＝log|x|+C です。
これは導出は大変なので、
公式として覚えていたほうが良いものでしょう。

おそらくこの部分が問題だと思うので、
これだけ回答しました。