広義積分についての問題

質問

広義積分∫(0～∞)(sinx)^3/x^s　が収束するような実数ｓの範囲を求めよ
という問題です
念のためですが、分子が(sinx)^3、分母がx^sです。

おそらくもっと簡単な関数として∫(0～∞)(sinx)/x^s　に帰着されると
思いますので、こちらの回答だけでもしていただけたらうれしいです。

回答No.3

seven_triton · ベストアンサー

いやいやいやいや，全然違うことをしてましたね。ごめんなさい。最後の式とか全然意味不明。

t≧0 のときはx^t sinx がx→∞ のときに0に収束しないので0~∞における積分も収束しない，とただそれだけのことでした。しかも∫(1～∞) x^t sinx dx が-∞に発散するというのははなはだ怪しいことなのではないでしょうか。t が0に近いときは。ただ，この積分が収束しないというのは明らかでしょう。だってくねくねしてるんだから。

最終的には感覚的な議論になってしまってごめんなさい。

補足

どうもありがとうございました☆
この部分だけを除けば方針はたったことだし！
もうちょっと考えてみまーす

ＰＳ
回答してる時間が結構遅いですね笑
３：２４とかって深夜じゃん！
かなり笑えました

回答No.2

seven_triton

分かりました。

∫(1～∞) sinx/x^s dx ＞ ∫(0～∞) sinx/x^s dx なので，この右辺が発散することを示せば十分ですね。積分範囲を2πごとに区切り，それをさらに半分に分けて考えます。あ，それから今は s＜0 なので，t=-s として
∫(0～∞) x^t sinx dx が発散することを示します。（t＞0）

以下kは0以上の整数とします。
区間[2kπ，2kπ+π] においてx^t≧(2kπ)^t ，sinx≧0 なので，
∫(2kπ～2kπ+π) x^t sinx dx ≧ ∫(2kπ～2kπ+π) (2kπ)^t sinx dx ≧ 2(2kπ)^t
また，区間[2kπ+π，2kπ+2π]においてx^t≦(2kπ+2π)^t ，sinx≦0 なので，
∫(2kπ+π～2kπ+2π) x^t sinx dx ≧ ∫(2kπ+π～2kπ+2π) (2kπ+2π)^t sinx dx ≧ -2(2kπ+2π)^t
以上の２式を足して，

∫(2kπ～2kπ+2π) x^t sinx dx ≧ 2(2π)^t {k^t -(k+1)^t}

この式のkを0からn-1まで変えた式を足すと，

∫(0～2nπ) x^t sinx dx ≧ -2(2π)^t n^t → +∞　（n→∞）

回答No.1

seven_triton

結果から言うと，
I=∫(0～∞)(sinx)/x^s は0<s<2の時に収束し，それ以外の時には発散
J=∫(0～∞)(sinx)^3/x^s は0<s<4の時に収束し，それ以外の時には発散
となると思います。

IについてもJについても，ｘ=0，∞での振る舞いが気になるので，積分範囲を0から1までと1から∞までに分けます。

0から1までの積分は，Iについて言うと，(sinx)/x^sを(sinx)/xとx^(1-s)の積に分解して∫(0～1)x^(1-s)dxの収束・発散を考えれば良いです。（0の近くで(sinx)/xはほとんど1ですから。）一般に∫(0～1)x^αdxは-1<αのとき収束し，α≦-1のとき発散するので，∫(0～1)x^(1-s)dxは，つまり∫(0～1)(sinx)/x^sはs<2のとき収束，2≦sのとき発散します。

1から∞までの積分の評価では，「広義積分に対するCauchyの収束判定条件」を用います。この問題に適用すれば
　「任意のε>0にたいしてあるN∈[1,∞）があって，N<u<vなる任意のu,vに対して|∫(u～v)(sinx)/x^s |<εとなるならば，∫(1～∞)(sinx)/x^s は収束する」
となります。いいかえれば
　|∫(u～v)(sinx)/x^s | → 0 （u→∞）
となれば∫(1～∞)(sinx)/x^s は収束するのです。部分積分と三角不等式を用いれば左辺は
　|∫(u～v)(sinx)/x^s | ＜2/(u^s)
と評価できるので，（ここの計算がちょっと面倒です。省略します。ごめんなさい）∫(1～∞)(sinx)/x^s はs>0のときには収束することが示されます。そして，s≦0のときには∫(1～∞)(sinx)/x^s は収束しません。s=0 のときはいいですよね。s<0 のときにはt=-s という置き換えをして（しないでもいいですがした方が分かりやすいと思います），(n-1)πからnπまでなどの積分を評価してみてください。nについて足し合わせると-∞に発散します。

これでIに対する結果は示されました。つまり，積分範囲を0から1までと1から∞までに分けて，前者はs<2のとき収束，2≦sのとき発散し，後者はs>0のときに収束，s≦0のときに発散することが分かったので，あわせるとIは0<s<2の時に収束し，それ以外の時には発散することになります。

Jについても同様のことをやればいいのです。(sinx)^3の積分とかをちゃんと出来れば問題ないと思います。でもやっぱ三角不等式で評価するとこが難しいかな。上ではそれを省略してしまっていて申し訳ないですが。でも数式を打ち込むのが面倒なので。ごめんなさい。

これで分かりましたか？

補足

早い回答ありがとうございます。
とてもわかりやすかったです。
ただちょっとわからないことがあるのでもう一度聞いてもいいですか？

＞そして，s≦0のときには∫(1～∞)(sinx)/x^s は収束しません
＞(n-1)πからnπまでなどの積分を評価してみてください

というところなんですが、どうも上手くいかなくって・・・