Zornの補題について

質問

Zornの補題を用いて、すべての線形空間V(≠{0})にも基底が存在する事を証明するにはどうすれば良いのでしょうか？
わかる方いましたら解答を教えて頂けると助かります。<(_ _)>

Zornの補題：帰納的順序集合Xには極大元が存在する

回答No.2

ramayana · ベストアンサー

Vの「一次独立な元からなる部分集合」全体からなる集合をIndepと表すことにします。Indepに、包含関係による順序関係を導入します。すなわち、P∈Indep、Q∈Indepのとき、P≦Qとは、P⊂Qを意味することにします。

以下、

　　Indepが帰納的集合であること
　　Indepに極大元Bが存在すること
　　BがVの基底であること

の順で証明します。

１　Indepが帰納的集合であること（Indepの任意の全順序部分集合に上界が存在すること）

{P_λ|λ∈Λ}をIndepの全順序部分集合とします（Λは添字の集合）。{P_λ|λ∈Λ}の結合集合をUとします。このUが、{P_λ|λ∈Λ}の上界になります。これは、次の１.１と１.２から言えます。

１.１　U∈Indepであること

これを示すには、Uの元が一次独立であること、すなわち、Uの任意の有限個の元が一次独立であることを示せばよい。u_1、…、u_nをUの元とすると、これらは、有限個のP_λの結合に含まれる。これら有限個のP_λの中に、最大元が存在する（{P_λ|λ∈Λ}が全順序集合だから）。これをP_μとすると、u_1、…、u_nはP_μの元である。したがって、u_1、…、u_nは一次独立である。

１.２　すべてのP_λがUの部分集合であること

これは、P_λ全体の結合集合がUであることから、当たり前。

２　Indepに極大元Bが存在すること

１により、Indepが帰納的集合であることが分かったので、Zorn’s Lemmaにより、Indepには極大元が存在する。これをBとする。

3　 BがVの基底であること

これは、次の３.１と３.２から言えます。

3.１　Bの元が一次独立であること

これは、BがIndepの元であることから、当たり前。

3.2　Vの任意の元vが、Bの元の一次結合で表されること。

（vがBの元であるとき）

vがBの元の一次結合で表されるのは、当たり前。

（vがBの元でないとき）

BがIndepの極大元なので、集合B∪{v}は、一次従属。したがって、ある有限個のBの元u_1、…、u_nと係数a_0、a_1、…、a_nが存在して、

　　a_0v + a_1u_1 + … + a_nu_n = 0

となる。u_1、…、u_nが一次独立だから、a_0≠0。したがって、

　　v =-a^(-1) (a_1u_1 + … + a_nu_n)

となる。

お礼

お礼が遅くなり申し訳ありません。
お忙しい所丁寧な解答を書いてくださり本当にありがとうございます。
<(_ _)>

回答No.1

rinkun

Vの一次独立な集合の全体に包含関係で順序を入れると帰納的順序集合になるんじゃなかったかな。それで極大元を取れば基底になる。
証明をきちんとやると説明に結構な時間が掛かるので自力で詰めてください。
# 学生時代に演習で解いた同級生が3週間くらい掛けて説明してたし