Affine subset (アフィン部分集合)

質問

線型代数を一通り学んだ者です。
なかなか問題の誘導に乗れませんので、分かる方教えて下さい。

●定義
任意の x,y∈M について、λx＋(1-λ)y∈M ならば M はアフィン部分集合。
部分集合　B：＝｛x_1, x_2, ... , x_n｝⊆M　について、すべての m∈M がアフィン結合　x＝λ_1x_1 + λ_2x_2 + … +λ_nx_n (ただしλ_1+λ_2+ … +λ_n = 1) で一意に表せるとき、Bはアフィン基底である。

●問題
Mを実ベクトル空間Vのアフィン部分集合だとする。M⊆V。
(1) 集合　M＋a (全てのa∈V) が affine であることを示せ。
(2) 零ベクトル 0∈M だとすると、Mは部分空間であることを示せ。
(3) M=U+a となるような a∈V と 部分空間Uがあることを示せ。
(4) UはMによって一意的に定まることをしめせ。また、aはMによって定まるか？
(5) dimM=k　(有限)　だとする。Mが少なくとも一つ k+1 の元からなるアフィン基底を持つことを示せ。また、Mのすべてのアフィン基底がちょうど k+1 の元から成ることを示せ。
(6) M=｛x＝（x,y,z,w)∈R^4 : x-2y+z=3, x+5z-2w=1｝だとする。Mのアフィン基底ひとつを求めよ。

部分的には分かるのですが、なかなか全体の話がみえません。
詳しく答えて下さると、有り難いです。よろしくお願いします。

回答No.3

kabaokaba · ベストアンサー

教育的でいい問題ですね

(1)それでOK
ただし，
>Mがアフィン部分集合であることと
>M+aがアフィンであることって同値ですよね？
このかき方だと
(A) Mがaffineである
(B) 任意のa∈Vに対して M+aがaffineである
(C) あるa∈Vに対して M+aがaffineである
としたとき
(A)と(B)が同値なのか，(A)と(C)が同値なのか
それとも(A)(B)(C)のすべてが同値なのか
さてどうでしょう．
微妙なところですがきっちりしないとだめです．

(2) これは問題としては(1)とは無関係．
単に，affineなMがたまたま0を含んでいるなら
Mはベクトル空間になるということを示せということ．
ちょっとテクニカルな変形が必要な気がするけど
部分空間の定義に従えばいい．

(3) (1)と(2)を用いてUを実際に構成すればいい．
まあ，ぶっちゃけ，Mの任意の元aをとってきて
U={x-a| xはMの元}と定めるとこのUは何か
ということ．
Mは空集合じゃないというのは
仮定されているとみなしていいでしょう

(4) 一意性を示す常套手段を使えばいい．
つまり，条件を満たすUとVがあったとしてU=Vとなることを示す．
「a」の一意性についてはこの過程でどうなるかは見えるはず．

(5) これは問題文にある「affine基底」の定義に従えばいい．
そこときに(4)や有限次元ベクトル空間の基底の性質を
用いることになる．

(6) ただ計算するだけ．単なる連立方程式の問題．
ただし実際に計算すれば，(1)から(5)の具体例となり
理解に役立つというか直感の形成に寄与する．
もちろん(1)から(5)の方法を使ってもいい．
ただし，この問題はちょっと微妙．
ここで定義されているMがaffineであるかは
証明が必要です（ほとんど自明だけど）
きちんと問題文にするなら
M=｛x＝（x,y,z,w)∈R^4 : x-2y+z=3, x+5z-2w=1｝だとする。
MがR^4のaffine部分集合であることを示し，←これが必要
Mのアフィン基底ひとつを求めよ。

補足

詳細な返答、ありがとうございます。
続けて質問させて下さい。

1)
>(A) Mがaffineである
>(B) 任意のa∈Vに対して M+aがaffineである
>(C) あるa∈Vに対して M+aがaffineである
>としたとき
先に書いた証明から考えて、(A)と(B)が同値だと思います。

(2)
>Mはベクトル空間になるということを示せということ．
>ちょっとテクニカルな変形が必要な気がするけど
>部分空間の定義に従えばいい．
0∈Mですから、あとは任意のx,y∈M, λ∈R で、x+y∈M,, λx∈Mを確かめればいいのだと思います。いろいろいじってはみてるのですが、そのテクニカルな変形がわかりません。

どうしても理解したいので、よろしくお願いします。

回答No.4

kabaokaba

＞先に書いた証明から考えて、(A)と(B)が同値だと思います。
確かにそうなんだけど・・・・実は(C)も同値．
＃まあ，これはどうでもいいおまけ（証明自体は騙し討ちみたいな方法）

本題：
(2)は λx∈M を示すのが重要
ヒント：λx + (1-λ)0でxと0はMの要素
λx∈M が示せたならば
λ(x/λ)+(1-λ)(y/(1-λ))は？

お礼

できました。
ありがとうございます。

回答No.2

koko_u_u

>(2)もし 0∈Mなら、a∈Mですよね？

a のことは忘れてください。単純にアフィン空間に関する命題として考察しましょう。

>(3)もし0∈Mなら、M=U-a=U+(-a)

U が存在することを言いたいので、いきなりそのように置いてはいけません。

>(3)の結果を認めれば、a+U=M=b+VからU=Vとなることが示せます。

示せていません。「存在する」ことと「存在してユニーク」であることは別です。

>だから、dimM=dimUですよね？

dim(M) の定義を補足にどうぞ。

回答No.1

koko_u_u

>部分的には分かるのですが、なかなか全体の話がみえません。

わかるところまで補足にどうぞ。

補足

(1) u=x+a, v=y+a∈M+a とする。ただしx.y∈M
λ∈Rで、z=λu+(1-λ)v =λ(x+a)+(1-λ)(y+a) =λx+(1-λ)y+a
λx+(1-λ)y∈Mだから、z∈M+a。よってM+aはアフィン。
Mがアフィン部分集合であることとM+aがアフィンであることって同値ですよね？

(2)でなにが云いたいのか分かりません。
ただ、もし 0∈Mなら、a∈Mですよね？
U⊆V, U=M+a とおいて、M=U-a を考えると、a＝0＝m∈Mの時、a∈Uだから。
Mが部分空間 if and only if U-aが部分空間
だから、u-a, v-a ∈ U-a が加法と、スケーラー乗法で閉じていることを確かめたい。ここで(1)が利いてくる？M+aを考える。
z = (u-a)+ (v-a) + a = u+v-a
u,v,a∈M⊆U⊆Vでこれはアフィン結合（係数の和が１、z∈M+a）。
よって、(u-a)+(v-a)∈M
乗法の場合も同様。したがってMは部分空間。

(3) これは、いまいちどう書いたらいいか分かりません。
(2)より　もし0∈Mなら、M=U-a=U+(-a)
-a∈Vだから、a=-aでaの存在までは分かりますが、
ここで0∈Mを仮定していいのか分からないです。
Uについては、どう云えば良いのでしょうか。

(4) (3)の結果を認めれば、
a+U=M=b+VからU=Vとなることが示せます。
更に、aはMによって決まらないことは、a+U=M=b+Uを示すことによって結論できます。だから、dimM=dimUですよね？

(5)これは、まったく分かりません。

よろしくお願いします。