線形代数学について

質問

Ｖ　が線形空間で　ｂ　がある線形結合における元の集合
　　＜Ａ1,Ａ2,Ａ3,・・・・,Ａr＞
に含まれているとき、この線形結合に　ｂ　を加えた集合と、もとのこの線形結合における元の集合と、イコールになることの証明方法を教えてください。よろしくお願いします。。。
　　＜Ａ1，Ａ2、Ａ3，・・・・Ａｒ、ｂ＞＝＜Ａ1，Ａ2，Ａ3、・・・・Ａｒ＞
を証明したいのです。

回答No.2

shushou · ベストアンサー

＜Ａ1,Ａ2,Ａ3,・・・・,Ａr＞
={x=x1A1+x2A2+...+xrAr | x1,x2,...,xrはスカラー(実数とか)}
のことですよね。だから
(1) b=b1A1+...+brAr
とかけます。さて
P=＜Ａ1，Ａ2、Ａ3，・・・・Ａｒ、ｂ＞
Q=＜Ａ1，Ａ2，Ａ3、・・・・Ａｒ＞
とおくとP=Qを示したいのですから
P⊂Q,とP⊃Q　の２つが成り立っていることをいえばよいですね。
P⊃Q　は明らかですからP⊂Qを示します。
x∈Pとすると
x=x1A1+x2A2+...+xrAr+yb
=x1A1+x2A2+...+xrAr+y(b1A1+...+brAr)　　　(∵(1))
=(x1+yb1)A1+(x2+yb2)A2+...+(xr+ybr)Ar
となり、これはx∈Qであることを意味しますよね。
よってP⊂Q　がいえたのでP=Qが示せました。

お礼

今日テストだったんですけど、この問題がばっちり出ました。おかげでばっちり証明できました。
ありがとうございます。

回答No.1

noname#598

ｂ　がある線形結合における元の集合
　　＜Ａ1,Ａ2,Ａ3,・・・・,Ａr＞
に含まれている
この仮定から自明な気がしますが・・・
だって、A1からArのどれかがｂと等しいってことですよね？
全然違ってたらごめんなさい。
なんせ１０年前のことなんで(^_^;)